Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

116 Глава VI . Гармонические функции
Теорема 2 (Шварца). Пусть ϕ — функция, интегрируемая на T и
непрерывная в точке æ
0
∈ T. Тогда
lim
z→æ
0
P (z; ϕ) = ϕ(æ
0
).
Доказательство. Пусть ε > 0 задано. Выб ерем дугу γ ⊂ T c цент-
ром в точке æ
0
так, чтобы неравенство
|ϕ(æ) − ϕ(æ
0
)| <
ε
2
выполнялось для всех æ ∈ γ. Обозначим через γ
∗
дополнительную
дугу T \γ и определим
ϕ
1
(æ) =
(
ϕ(æ) − ϕ(æ
0
) при æ ∈ γ,
0 при æ ∈ γ
∗
;
ϕ
2
(æ) =
(
0 при æ ∈ γ,
ϕ(æ) − ϕ(æ
0
) при æ ∈ γ
∗
.
Тогда
P (z; ϕ) − ϕ(æ
0
) = P (z; ϕ
1
) + P (z; ϕ
2
).
Заметим теперь, что P (z; ϕ
2
) непрерывно продолжается на дугу γ и
обращается на ней в нуль (см. теорему 1). Следовательно, найдется
такое δ > 0, что
|P (z; ϕ
2
)| <
ε
2
при |z −æ
0
| < δ. Кроме того, из свойств интеграла Пуассона следует,
что
|P (z; ϕ
1
)| ≤ sup
æ∈γ
|ϕ(æ) − ϕ(æ
0
)| ≤
ε
2
.
Таким образом, для любого z ∈ D, удовлетворяющего условию |z −
æ
0
| < δ получаем
|P (z; ϕ) − ϕ(æ
0
)| ≤ |P (z; ϕ
1
)| + |P (z; ϕ
2
)| < ε.
2
Доказанная теорема показывает, что задача Дирихле (отыскание
гармонической функции по ее непрерывным граничным значениям)
всегда разрешима в случае круга. Этот результат можно перенести с
помощью конформного отображения на другие односвязные области,
ограниченные жордановыми кривыми.
116                                  Глава VI .     Гармонические функции

Теорема 2 (Шварца). Пусть ϕ — функция, интегрируемая на T и
непрерывная в точке æ0 ∈ T. Тогда
                           lim P (z; ϕ) = ϕ(æ0 ).
                           z→æ0

Доказательство. Пусть ε > 0 задано. Выберем дугу γ ⊂ T c цент-
ром в точке æ0 так, чтобы неравенство
                                          ε
                        |ϕ(æ) − ϕ(æ0 )| <
                                          2
выполнялось для всех æ ∈ γ. Обозначим через γ ∗ дополнительную
дугу T \ γ и определим
                           (
                               ϕ(æ) − ϕ(æ0 ) при æ ∈ γ,
                ϕ1 (æ) =
                                    0        при æ ∈ γ ∗ ;
                           (
                                    0        при æ ∈ γ,
               ϕ2 (æ) =
                               ϕ(æ) − ϕ(æ0 ) при æ ∈ γ ∗ .
Тогда
                P (z; ϕ) − ϕ(æ0 ) = P (z; ϕ1 ) + P (z; ϕ2 ).
Заметим теперь, что P (z; ϕ2 ) непрерывно продолжается на дугу γ и
обращается на ней в нуль (см. теорему 1). Следовательно, найдется
такое δ > 0, что
                                                ε
                                 |P (z; ϕ2 )| <
                                                2
при |z − æ0 | < δ. Кроме того, из свойств интеграла Пуассона следует,
что
                                                       ε
                   |P (z; ϕ1 )| ≤ sup |ϕ(æ) − ϕ(æ0 )| ≤ .
                                   æ∈γ                 2
Таким образом, для любого z ∈ D, удовлетворяющего условию |z −
æ0 | < δ получаем
            |P (z; ϕ) − ϕ(æ0 )| ≤ |P (z; ϕ1 )| + |P (z; ϕ2 )| < ε.
                                                                     2
    Доказанная теорема показывает, что задача Дирихле (отыскание
гармонической функции по ее непрерывным граничным значениям)
всегда разрешима в случае круга. Этот результат можно перенести с
помощью конформного отображения на другие односвязные области,
ограниченные жордановыми кривыми.

Страницы