Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§3. Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле 115
z
0
∈ γ расстояние от z
0
до T \ γ будет положительным и поскольку в
этом случае
S(z; ϕ) =
1
2π
Z
T\γ
æ + z
æ − z
ϕ(æ) |dæ|,
то рассуждения, аналогичные проведенным в случае z
0
∈ D, дают
непрерывность и комплексную дифференцируемость функции S( z; ϕ)
на дуге γ. Аналитическое продолжение S(z; ϕ) через γ во внешность
единичного круга следует из принципа симметрии Римана–Шварца.
Отметим при этом, что условие Re S(z; ϕ) = 0 при z ∈ γ следует из
равенства:
Re
æ + z
æ − z
=
1 − |z|
2
|æ − z|
2
= 0 , z, æ ∈ T, z 6= æ.
2
Отметим теперь некоторые свойства интеграла Пуассона, харак-
теризующие его как оператор, действующий из L
1
(T) в пространство
h(D).
(а) Линейность
P ( ·; ϕ
1
+ ϕ
2
) = P ( ·; ϕ
1
) + P ( ·; ϕ
2
), P( ·; αϕ) = αP ( ·; ϕ).
(б) Монотонность
P (z; ϕ) ≥ 0, если ϕ ≥ 0.
(в) P (z; 1) ≡ 1 и
inf ϕ ≤ P (z; ϕ) ≤ sup ϕ.
Доказательство. Линейность является следствием свойств интег-
рала. Для доказательства монотонности достаточно отметить, что
ядро Пуассона неотрицательно в D. Равенство P (z; 1) ≡ 1 следует из
интегральной формулы Пуассона для функции u(z) ≡ 1. Наконец,
неравенство для P (z; ϕ) следует из монотонности и линейности.
2
§ 3.    Интегралы Пуассона и Шварца. Задача Дирихле                                  115

z0 ∈ γ расстояние от z0 до T \ γ будет положительным и поскольку в
этом случае
                              1 Z æ+z
                   S(z; ϕ) =              ϕ(æ) |dæ|,
                             2π T\γ æ − z

то рассуждения, аналогичные проведенным в случае z0 ∈ D, дают
непрерывность и комплексную дифференцируемость функции S(z; ϕ)
на дуге γ. Аналитическое продолжение S(z; ϕ) через γ во внешность
единичного круга следует из принципа симметрии Римана–Шварца.
Отметим при этом, что условие Re S(z; ϕ) = 0 при z ∈ γ следует из
равенства:

                   æ+z   1 − |z|2
                Re     =          = 0,                 z, æ ∈ T,   z 6= æ.
                   æ−z   |æ − z|2
                                                                             2
    Отметим теперь некоторые свойства интеграла Пуассона, харак-
теризующие его как оператор, действующий из L1 (T) в пространство
h(D).

       (а) Линейность

           P ( · ; ϕ1 + ϕ2 ) = P ( · ; ϕ1 ) + P ( · ; ϕ2 ),    P ( · ; αϕ) = αP ( · ; ϕ).

       (б) Монотонность

                                P (z; ϕ) ≥ 0,         если    ϕ ≥ 0.

       (в) P (z; 1) ≡ 1 и
                                    inf ϕ ≤ P (z; ϕ) ≤ sup ϕ.

Доказательство. Линейность является следствием свойств интег-
рала. Для доказательства монотонности достаточно отметить, что
ядро Пуассона неотрицательно в D. Равенство P (z; 1) ≡ 1 следует из
интегральной формулы Пуассона для функции u(z) ≡ 1. Наконец,
неравенство для P (z; ϕ) следует из монотонности и линейности.
                                                         2

Страницы