Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§2. Интегральные формулы Пуассона и Шварца 113
Теорема 2. Пусть f — голоморфная в D функция, вещественная
часть которой u(z) = Re f(z) непрерывно продолжается в
D
. Тогда
для любого z ∈ D выполняется равенство:
f(z) =
1
2π
Z
T
æ + z
æ − z
u(æ) |dæ| + i Im f(0)
=
1
2πi
Z
T
æ + z
æ − z
u(æ)
dæ
æ
+ i Im f(0).
(2)
Доказательство. По теореме 1 функция u имеет представление в
виде
u(z) =
1
2π
Z
T
u(æ)
1 − |z|
2
|æ − z|
2
|dæ| = Re
½
1
2π
Z
T
æ + z
æ − z
u(æ) |dæ|
¾
.
Заметим теперь, что функция в фигурных скобках является анали-
тической в единичном круге. Чтобы убедиться в этом, представим u
в виде (|dæ| = |iæ dθ| = dθ, æ = e
iθ
) :
1
2π
Z
T
æ + z
æ − z
u(æ) |dæ| =
1
2πi
Z
T
æ + z
æ − z
u(æ)
dæ
æ
=
=
1
2πi
Z
T
u(æ)
æ − z
dæ + z
1
2πi
Z
T
u(æ)
æ − z
dæ
æ
Выражение в правой части последнего равенства является интегра-
лом Коши с плотностью
æ + z
æ
u(æ)
и потому представляет собой аналитическую в D функцию. Следова-
тельно, функция f, определенная равенством (2), аналитична в D и
Re f(z) = u(z). Остается заметить, что мнимая часть аналитической
функции восстанавливается однозначно с точностью до аддитивной
константы по вещественной части .
2
Замечание. Формулы (1) и (2) называются соответственно фор-
мулами Пуассона и Шварца.
§ 2.   Интегральные формулы Пуассона и Шварца                            113

Теорема 2. Пусть f — голоморфная в D функция, вещественная
часть которой u(z) = Re f (z) непрерывно продолжается в D . Тогда
для любого z ∈ D выполняется равенство:

                          1 Z æ+z
                 f (z) =            u(æ) |dæ| + i Im f (0)
                         2π T æ − z
                          1 Z æ+z         dæ                             (2)
                       =             u(æ)    + i Im f (0).
                         2πi T æ − z       æ

Доказательство. По теореме 1 функция u имеет представление в
виде
                                             ½                     ¾
                 1 Z      1 − |z|2              1 Z æ+z
       u(z) =        u(æ)          |dæ| = Re              u(æ) |dæ|  .
                2π T      |æ − z|2             2π T æ − z

Заметим теперь, что функция в фигурных скобках является анали-
тической в единичном круге. Чтобы убедиться в этом, представим u
в виде (|dæ| = |iæ dθ| = dθ, æ = eiθ ) :

        1 Z æ+z                1 Z      æ+z       dæ
                  u(æ) |dæ| =                u(æ)    =
       2π T æ − z             2πi T     æ−z       æ
                               1 Z      u(æ)         1 Z u(æ) dæ
                            =                dæ + z
                              2πi T     æ−z         2πi T æ − z æ

Выражение в правой части последнего равенства является интегра-
лом Коши с плотностью
                              æ+z
                                   u(æ)
                               æ
и потому представляет собой аналитическую в D функцию. Следова-
тельно, функция f , определенная равенством (2), аналитична в D и
Re f (z) = u(z). Остается заметить, что мнимая часть аналитической
функции восстанавливается однозначно с точностью до аддитивной
константы по вещественной части.
                                                         2


Замечание. Формулы (1) и (2) называются соответственно фор-
мулами Пуассона и Шварца.

Страницы