Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Основные свойства гармонических функций 111
Из теоремы единственности, в частности, следует, что гранич-
ные значения вполне определяют гармоническую функцию в области.
Задача восстановления гармонической функции по ее граничным зна-
чениям известна как задача Дирихле. В последующих двух парагра-
фах она будет решена в случае, когда в качестве области выступает
единичный круг.
Теорема 3 (О среднем). Пусть u — гармоническая в O
r
(z
0
) и не-
прерывная в O
r
(z
0
) функция. Тогда
u(z
0
) =
1
2π
2π
Z
0
u(z
0
+ re
iθ
) dθ =
1
2π
Z
T
u(z
0
+ ræ)|dæ|.
Здесь и в дальнейшем через T будем обозначать ориентированную
границу ∂ D.
Доказательство. Поскольку u — непрерывная в O
r
(z
0
) функция, то
достаточно доказать равенство:
u(z
0
) =
1
2π
2π
Z
0
u(z
0
+ ρe
iθ
) dθ
для всех ρ ∈ (0, r). Однако в круге O
r
(z
0
) функция u представима как
вещественная часть аналитической функции. Применяя к последней
теорему о среднем и отделяя в полученном равенстве вещественную
часть, приходим к требуемому утверждению.
2
Упражнение. Покажите, что гармоническая функция u, зависящая
только от r = |z − z
0
|, имеет вид:
u(z) = α ln |z − z
0
| + β.
Решение. Если u(z) = λ(r ), то
∂ u
∂ x
= λ
0
(r)
∂ r
∂ x
=
x
r
λ
0
(r),
∂
2
u
∂ x
2
=
x
2
r
2
λ
00
(r) +
y
2
r
3
λ
0
(r)
и
∆u = λ
00
(r) +
1
r
λ
0
(r).
§ 1.   Основные свойства гармонических функций                              111

    Из теоремы единственности, в частности, следует, что гранич-
ные значения вполне определяют гармоническую функцию в области.
Задача восстановления гармонической функции по ее граничным зна-
чениям известна как задача Дирихле. В последующих двух парагра-
фах она будет решена в случае, когда в качестве области выступает
единичный круг.

Теорема 3 (О среднем). Пусть u — гармоническая в Or (z0 ) и не-
прерывная в Or (z0 ) функция. Тогда

                    1   Z2π                     1 Z
                                       iθ
          u(z0 ) =            u(z0 + re ) dθ =      u(z0 + ræ)| dæ|.
                   2π   0
                                               2π T

Здесь и в дальнейшем через T будем обозначать ориентированную
границу ∂ D.
Доказательство. Поскольку u — непрерывная в Or (z0 ) функция, то
достаточно доказать равенство:

                                  1     Z2π
                        u(z0 ) =              u(z0 + ρeiθ ) dθ
                                 2π     0

для всех ρ ∈ (0, r). Однако в круге Or (z0 ) функция u представима как
вещественная часть аналитической функции. Применяя к последней
теорему о среднем и отделяя в полученном равенстве вещественную
часть, приходим к требуемому утверждению.
                                                             2
Упражнение. Покажите, что гармоническая функция u, зависящая
только от r = |z − z0 |, имеет вид:

                              u(z) = α ln |z − z0 | + β.


Решение. Если u(z) = λ(r), то
         ∂u          ∂r  x                       ∂2 u  x2 00     y2 0
            = λ0 (r)    = λ0 (r),                     = 2 λ (r) + 3 λ (r)
         ∂x          ∂x  r                       ∂ x2  r         r
и
                                             1
                               ∆u = λ00 (r) + λ0 (r).
                                             r

Страницы