Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Основные свойства гармонических функций 109
Доказательство. Пусть u ∈ h(D). Рассмотрим функцию g, опреде-
ленную в области D равенством:
g(z) =
∂ u
∂ x
− i
∂ u
∂ y
, x + iy = z.
Поскольку u удовлетворяет уравнению Лапласа , для функции g вы-
полнено условие комплексной дифференцируемости, т. е. g ∈ H(D).
В силу односвязности области D однозначно определена также голо-
морфная функция
f(z) = U(z) + iV (z) =
Z
g(ζ) dζ,
которую мы нормируем условием U(z
0
) = u(z
0
), z
0
∈ D. В этом случае
f определена с точностью до мнимой константы.
Равенство f
0
(z) = g(z) влечет
∂ U
∂ x
=
∂ u
∂ x
,
∂ U
∂ y
= −
∂ V
∂ x
=
∂ u
∂ y
.
Таким образом, U(z) ≡ u(z).
2
Применение этой теоремы сразу же дает локальные свойства гар-
монических функций:
a) Бесконечная дифференцируемость.
b) Конформная инвариантность. Если u — гармоническая в об-
ласти G функция, а g — аналитическая в области D функция
и g(D) ⊆ G, то v = u ◦ g является гармонической в области D.
c) Принцип экстремума . Непостоянная гармоническая в области D
функция u не может достигать локального максимума или мини-
мума во внутренней точке.
Доказательство. a) Пусть u ∈ h(D) и z
0
∈ D. Тогда найдется
r > 0 такое, что O
r
(z
0
) ⊂ D. По теореме 1, найдется f ∈ H(O
r
(z
0
)),
для которой Re f(z) = u(z). Отсюда следует бесконечная дифферен-
цируемость функции u в O
r
(z
0
).
§ 1.   Основные свойства гармонических функций                    109

Доказательство. Пусть u ∈ h(D). Рассмотрим функцию g, опреде-
ленную в области D равенством:

                           ∂u   ∂u
                  g(z) =      −i ,       x + iy = z.
                           ∂x   ∂y

Поскольку u удовлетворяет уравнению Лапласа, для функции g вы-
полнено условие комплексной дифференцируемости, т. е. g ∈ H(D).
В силу односвязности области D однозначно определена также голо-
морфная функция
                                          Z
                   f (z) = U (z) + iV (z) = g(ζ) dζ,

которую мы нормируем условием U (z0 ) = u(z0 ), z0 ∈ D. В этом случае
f определена с точностью до мнимой константы.
    Равенство f 0 (z) = g(z) влечет

                 ∂U   ∂u         ∂U    ∂V   ∂u
                    =    ,          =−    =    .
                 ∂x   ∂x         ∂y    ∂x   ∂y

Таким образом, U (z) ≡ u(z).
                                                           2
    Применение этой теоремы сразу же дает локальные свойства гар-
монических функций:

 a) Бесконечная дифференцируемость.

 b) Конформная инвариантность. Если u — гармоническая в об-
    ласти G функция, а g — аналитическая в области D функция
    и g(D) ⊆ G, то v = u ◦ g является гармонической в области D.

 c) Принцип экстремума. Непостоянная гармоническая в области D
    функция u не может достигать локального максимума или мини-
    мума во внутренней точке.

Доказательство. a) Пусть u ∈ h(D) и z0 ∈ D. Тогда найдется
r > 0 такое, что Or (z0 ) ⊂ D. По теореме 1, найдется f ∈ H(Or (z0 )),
для которой Re f (z) = u(z). Отсюда следует бесконечная дифферен-
цируемость функции u в Or (z0 ).

Страницы