Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 105 стр.

§ 5.   Аналитическое продолжение и принцип симметрии             107

где Γ± — ориентированная граница Or (x0 )∩D± . Если z ∈ D+ ∩Or (x0 ),
то ϕ+ (z) = f (z) по интегральной формуле Коши, а ϕ− = 0 по интег-
ральной теореме Коши, примененной к функции F (ζ)/(ζ − z), ζ ∈ D− .
В действительности, для применения этих результатов мы должны
отступить от отрезка [x0 − r, x0 + r] внутрь области аналитичности
функции F и затем совершить предельный переход. Аналогично, ес-
ли z ∈ D− ∩ Or (x0 ), то ϕ+ (z) = 0 и ϕ− (z) = f (z). Таким образом,
ϕ(z) = F (z) в Or (x0 ), что означает аналитичность F .
                                                          2
    Доказанная теорема имеет очевидные обобщения. Область D
можно выбирать симметричной относительно окружности C и пред-
полагать, что f (z) приближается к другой окружности C 0 , когда z
стремится к C. При этих условиях f имеет аналитическое продол-
жение, которое отображает точки, симметричные относительно C,
в точки, симметричные относительно C 0 . Принцип симметрии часто
используется для построения конформных отображений.