Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии 105
Полная аналитическая функция — глобальная аналитическая
функция, которая содержит все аналитические продолжения каж-
дого своего элемента.
Полная аналитическая функция является, очевидно, максималь-
ной в том смысле, что ее нельзя расширить. Очевидно также, что
каждый функциональный элемент принадлежит единственной (а сле-
довательно, и полностью определяет ее) полной аналитической функ-
ции. Глобальные аналитические функции являются более произволь-
ными. Разные семейства функциональных элементов могут опреде-
лять одну и ту же глобальную аналитическую функцию. Например,
однозначная аналитическая функция f, определенная в области D,
может идентифицироваться либо с семейством , состоящим из одно-
го функционального элемента (f, D), либо с семейством элементов
(f, D
0
), D
0
⊂ D.
Глобальная аналитическая функция f имеет однозначно опреде-
ляемую производную f
0
, определяемую функциональными элемента-
ми (f
0
, D). Действительно, если (f
1
, D
1
) и (f
2
, D
2
) — прямые ана-
литические продолжения друг друга, то таковыми же являются
(f
0
1
, D
1
) и (f
0
2
, D
2
).
Аналогичное соотношение может существовать между двумя
глобальными аналитическими функциями f и g. Мы предполагаем,
что каждому (f, D) ∈ f сопоставляется единственный функциональ-
ный элемент (g, D) ∈ g так, что прямые аналитические продолжения
переходят в прямые аналитические продолжения. В этом случае мы
говорим, что f подчинена g, и можно определить f + g и f ·g как семей-
ства, состоящие из элементов (f + g, D) и (f ·g, D), соответствующих
элементам (f, D) из f. Например, f подчинена любой целой функции
h, откуда следует, что f + h и f · h корректно определены.
Приведенное понятие полной аналитической функции называют
”в смысле Вейерштрасса”. Оно далеко отходит от обычного понятия
функции. Однако есть другой подход, основанный на понятии рима-
новой поверхности , который рассматривает полную аналитическую
функцию как однозначную, но определенную уже не на плоскости.
Рассмотрим теперь специальный случай аналитического продол-
жения, когда области D
1
и D
2
не пересекаются, а имеют общий учас-
§ 5.   Аналитическое продолжение и принцип симметрии               105

    Полная аналитическая функция — глобальная аналитическая
функция, которая содержит все аналитические продолжения каж-
дого своего элемента.


       Полная аналитическая функция является, очевидно, максималь-
ной в том смысле, что ее нельзя расширить. Очевидно также, что
каждый функциональный элемент принадлежит единственной (а сле-
довательно, и полностью определяет ее) полной аналитической функ-
ции. Глобальные аналитические функции являются более произволь-
ными. Разные семейства функциональных элементов могут опреде-
лять одну и ту же глобальную аналитическую функцию. Например,
однозначная аналитическая функция f , определенная в области D,
может идентифицироваться либо с семейством, состоящим из одно-
го функционального элемента (f, D), либо с семейством элементов
(f, D0 ), D0 ⊂ D.
       Глобальная аналитическая функция f имеет однозначно опреде-
ляемую производную f0 , определяемую функциональными элемента-
ми (f 0 , D). Действительно, если (f1 , D1 ) и (f2 , D2 ) — прямые ана-
литические продолжения друг друга, то таковыми же являются
(f10 , D1 ) и (f20 , D2 ).
       Аналогичное соотношение может существовать между двумя
глобальными аналитическими функциями f и g. Мы предполагаем,
что каждому (f, D) ∈ f сопоставляется единственный функциональ-
ный элемент (g, D) ∈ g так, что прямые аналитические продолжения
переходят в прямые аналитические продолжения. В этом случае мы
говорим, что f подчинена g, и можно определить f + g и f · g как семей-
ства, состоящие из элементов (f + g, D) и (f · g, D), соответствующих
элементам (f, D) из f. Например, f подчинена любой целой функции
h, откуда следует, что f + h и f · h корректно определены.
       Приведенное понятие полной аналитической функции называют
”в смысле Вейерштрасса”. Оно далеко отходит от обычного понятия
функции. Однако есть другой подход, основанный на понятии рима-
новой поверхности, который рассматривает полную аналитическую
функцию как однозначную, но определенную уже не на плоскости.
       Рассмотрим теперь специальный случай аналитического продол-
жения, когда области D1 и D2 не пересекаются, а имеют общий учас-

Страницы