Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии 103
Перейдем теперь к нормированной функции
F (z) =
H
0
(z
0
)
|H
0
(z
0
)|
H(z) − ζ
∗
1 − ζ
∗
H(z)
.
Очевидно, что F ∈ F. Кроме того,
F
0
(z
0
) =
|H
0
(z
0
)|
1 − |ζ
∗
|
2
=
α(1 − |w
∗
|
2
)
2
q
|w
∗
|(1 − |w
∗
|)
= α
1 + |w
∗
|
2
q
|w
∗
|
> α ,
что противоречит определению α.
2
Заметим, что полученное в конце доказательства неравенство не
является совсем неожиданным. Действительно, из построения функ -
ции F видно, что f(z) = Φ(F (z)), где
Φ(W ) =
Ã
æW + ζ
∗
1 + ζ
∗
æW
!
2
+ w
∗
1 + w
∗
Ã
æW + ζ
∗
1 + ζ
∗
æW
!
2
, æ =
H
0
(z
0
)
|H
0
(z
0
)|
.
Поскольку Φ удовлетворяет условиям леммы Шварца, то |Φ
0
(0)| < 1.
Отсюда
f
0
(z
0
) = Φ
0
(0)F
0
(z
0
) < F
0
(z
0
), т.е. f
0
(z
0
) < F
0
(z
0
) .
§5. Аналитическое продолжение и принцип симметрии
Согласно теореме единственности голоморфная функция одно-
значно определяется ее значениями в сколь угодно малой окрест-
ности какой–либо одной точки. Во времена Ньютона считалось, что
все функции только такие, а трудности видели лишь в вычислении
значений там, где исходная формула ее не определяла, т. е. в анали-
тическом продолжении. Основная логическая трудность, связанная
с аналитическим продолжением, состоит в его неоднозначности. На-
помним, что ранее при определении однозначной ветви ln f(z) функ-
ции f(z), не обращающейся в нуль в односвязной области D, мы
продолжали ее из точки z
0
∈ D путем интегрирования f
0
(z)/f(z).
§ 5.   Аналитическое продолжение и принцип симметрии                               103

Перейдем теперь к нормированной функции

                                      H 0 (z0 ) H(z) − ζ ∗
                           F (z) =                            .
                                     |H 0 (z0 )| 1 − ζ ∗ H(z)

Очевидно, что F ∈ F . Кроме того,

                       |H 0 (z0 )|     α(1 − |w∗ |2 )       1 + |w∗ |
         F 0 (z0 ) =               =  q                 = α   q       >α,
                       1 − |ζ ∗ |2   2 |w∗ |(1 − |w∗ |)      2 |w∗ |
что противоречит определению α.
                                                                               2
    Заметим, что полученное в конце доказательства неравенство не
является совсем неожиданным. Действительно, из построения функ-
ции F видно, что f (z) = Φ(F (z)), где
                          Ã             !
                       æW + ζ ∗ 2
                                      + w∗
                      1 + ζ ∗ æW                                    H 0 (z0 )
           Φ(W ) =        Ã              ∗ !2
                                              ,             æ=                 .
                               æW   +  ζ                           |H 0 (z0 )|
                   1 + w∗
                              1 + ζ ∗ æW

Поскольку Φ удовлетворяет условиям леммы Шварца, то |Φ0 (0)| < 1.
Отсюда

           f 0 (z0 ) = Φ0 (0)F 0 (z0 ) < F 0 (z0 ), т.е. f 0 (z0 ) < F 0 (z0 ) .

§ 5.   Аналитическое продолжение и принцип симметрии

    Согласно теореме единственности голоморфная функция одно-
значно определяется ее значениями в сколь угодно малой окрест-
ности какой–либо одной точки. Во времена Ньютона считалось, что
все функции только такие, а трудности видели лишь в вычислении
значений там, где исходная формула ее не определяла, т. е. в анали-
тическом продолжении. Основная логическая трудность, связанная
с аналитическим продолжением, состоит в его неоднозначности. На-
помним, что ранее при определении однозначной ветви ln f (z) функ-
ции f (z), не обращающейся в нуль в односвязной области D, мы
продолжали ее из точки z0 ∈ D путем интегрирования f 0 (z)/f (z).

Страницы