Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

102 Глава V . Основные принципы
является однолистной в области D со значениями из D. Условия нор-
мировки можно добиться дополнительным дробно–линейным преоб-
разованием
g(z) =
h
0
(z
0
)
|h
0
(z
0
)|
h(z) − h(z
0
)
1 −h
0
(z
0
)h(z)
.
Заметим, что в силу однолистности функции h ее производная h
0
(z) в
нуль не обращается. Таким образом, g ∈ F и непустота F доказана.
Пусть теперь
α = sup {g
0
(z
0
) : g ∈ F} .
Мы не исключаем здесь возможности α = ∞. Из определения супре-
мума следует существование такой последовательности {f
n
} ⊂ F,
что f
0
n
(z
0
) → α при n → ∞. Поскольку F является равномерно–
ограниченным в D семейством, то в силу принципа компакт-
ности можно выделить подпоследовательность {f
n
k
}, сходящуюся
локально–равномерно в D к некоторой функции f. Из теоремы Вей-
ерштрасса следует аналитичность функции f и равенство f
0
(z
0
) = α,
что, в частности, означает конечность α. По следствию из теоремы
Гурвица имеем также однолистность функции
f
.
В результате
f
∈ F
и является решением поставленной выше экстремальной задачи.
Покажем теперь, что f — искомая функция. При этом мы вос-
пользуемся ее экстремальным свойством.
Допустим, что некоторая точка w
∗
из D не принадлежит области
f(D). Тогда выделяется однозначная ветвь
H(z) =
f(z) − w
∗
1 − w
∗
f(z)
1/2
,
которая представляет собой однолистную в D функцию. При этом
|H(z)| < 1 при z ∈ D и H(z
0
) =
√
−w
∗
= ζ
∗
Дифференцируя равенст-
во
(H(z))
2
=
f(z) − w
∗
1 − w
∗
f(z)
,
получаем также
H
0
(z
0
) =
1 − | w
∗
|
2
2ζ
∗
α =
1 − | w
∗
|
2
2
√
−w
∗
α .
102                                  Глава V .      Основные принципы

является однолистной в области D со значениями из D. Условия нор-
мировки можно добиться дополнительным дробно–линейным преоб-
разованием
                          h0 (z0 ) h(z) − h(z0 )
                  g(z) = 0                          .
                         |h (z0 )| 1 − h0 (z0 )h(z)
Заметим, что в силу однолистности функции h ее производная h0 (z) в
нуль не обращается. Таким образом, g ∈ F и непустота F доказана.
    Пусть теперь
                     α = sup {g 0 (z0 ) : g ∈ F } .
Мы не исключаем здесь возможности α = ∞. Из определения супре-
мума следует существование такой последовательности {fn } ⊂ F,
что fn0 (z0 ) → α при n → ∞. Поскольку F является равномерно–
ограниченным в D семейством, то в силу принципа компакт-
ности можно выделить подпоследовательность {fnk }, сходящуюся
локально–равномерно в D к некоторой функции f . Из теоремы Вей-
ерштрасса следует аналитичность функции f и равенство f 0 (z0 ) = α,
что, в частности, означает конечность α. По следствию из теоремы
Гурвица имеем также однолистность функции f . В результате f ∈ F
и является решением поставленной выше экстремальной задачи.
    Покажем теперь, что f — искомая функция. При этом мы вос-
пользуемся ее экстремальным свойством.
    Допустим, что некоторая точка w∗ из D не принадлежит области
f (D). Тогда выделяется однозначная ветвь
                                        1/2
                               f (z) − w∗ 
                      H(z) =                   ,
                               1 − w∗ f (z)

которая представляет собой однолистную
                                √            в D функцию. При этом
                                      ∗    ∗
|H(z)| < 1 при z ∈ D и H(z0 ) = −w = ζ Дифференцируя равенст-
во
                              2   f (z) − w∗
                      (H(z)) =                ,
                                 1 − w∗ f (z)
получаем также

                  0       1 − |w∗ |2   1 − |w∗ |2
                H (z0 ) =            α= √         α.
                             2ζ ∗       2 −w∗

Страницы