Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

100 Глава V . Основные принципы
подпоследовательности, в свою очередь, можно выделить подпосле-
довательность {f
2,k
}, которая будет сходиться равномерно на K
2
.
Продолжая этот процесс, получим подпоследовательности
f
1,1
, f
1,2
, f
1,3
, . . .
f
2,1
, f
2,2
, f
2,3
, . . .
. . . . . . . . . . . .
Для каждого j = 2, 3, . . . выполняются следующие условия. {f
j,k
}
∞
k=1
—
подпоследовательность из {f
j−1,k
}
∞
k=1
и {f
j,k
} сходится равномерно на
K
j
.
Заметим теперь, что диагональная последовательность f
n
k
= f
k,k
будет, начиная с некоторого номера, подпоследовательностью каждой
из {f
j,k
}. Следовательно, {f
n
k
} будет сходиться равномерно на каждом
K
j
. Поскольку {K
j
} является исчерпанием области D, то для любого
компакта K ⊂ D найдется такое j, что K ⊂ K
j
. Это означает, что
{f
n
k
} сходится локально равномерно в области D.
2
§4. Теорема Римана об отображении
В геометрически ориентированной части теории аналитических
функций проблема конформного отображения играет доминирующую
роль. Теоремы существования и единственности позволяет опреде-
лить аналитические функции с важными свойствами, минуя анали-
тическую их запись.
В 1851 г . Риман объявил о фундаментальной теореме, согласно
которой каждую односвязную область, отличную от всей плоскости,
можно конформно отобразить на единичный круг. Однако его дока-
зательство оказалось не лишенным недостатков, на которые обра-
щал внимания Вейерштрасс. Около половины века понадобилось для
отыскания строгого доказательства этой теоремы. Одним из первых
его получил Кебе. Приведенный здесь вариант доказательства близок
к предложенному им.
Заметим вначале, что в силу теоремы Лиувилля не существует
конформного отображения всей плоскости на единичный круг.
100                                       Глава V .    Основные принципы

подпоследовательности, в свою очередь, можно выделить подпосле-
довательность {f2,k }, которая будет сходиться равномерно на K2 .
Продолжая этот процесс, получим подпоследовательности

                          f1,1 , f1,2 , f1,3 , . . .
                          f2,1 , f2,2 , f2,3 , . . .
                           ... ... ... ...

Для каждого j = 2, 3, . . . выполняются следующие условия. {fj,k }∞
                                                                  k=1 —
                                     ∞
подпоследовательность из {fj−1,k }k=1 и {fj,k } сходится равномерно на
Kj .
     Заметим теперь, что диагональная последовательность fnk = fk,k
будет, начиная с некоторого номера, подпоследовательностью каждой
из {fj,k }. Следовательно, {fnk } будет сходиться равномерно на каждом
Kj . Поскольку {Kj } является исчерпанием области D, то для любого
компакта K ⊂ D найдется такое j, что K ⊂ Kj . Это означает, что
{fnk } сходится локально равномерно в области D.
                                                             2


§ 4.   Теорема Римана об отображении

     В геометрически ориентированной части теории аналитических
функций проблема конформного отображения играет доминирующую
роль. Теоремы существования и единственности позволяет опреде-
лить аналитические функции с важными свойствами, минуя анали-
тическую их запись.
     В 1851 г. Риман объявил о фундаментальной теореме, согласно
которой каждую односвязную область, отличную от всей плоскости,
можно конформно отобразить на единичный круг. Однако его дока-
зательство оказалось не лишенным недостатков, на которые обра-
щал внимания Вейерштрасс. Около половины века понадобилось для
отыскания строгого доказательства этой теоремы. Одним из первых
его получил Кебе. Приведенный здесь вариант доказательства близок
к предложенному им.
     Заметим вначале, что в силу теоремы Лиувилля не существует
конформного отображения всей плоскости на единичный круг.

Страницы