Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§3. Принцип компактности 99
также будет компактным подмножеством области D. По предыдущей
теореме найдется такое M > 0, что
|f
0
(z)| ≤ M при всех z ∈ K
1
и f ∈ F.
Пусть теперь ε > 0 произвольное. Выберем δ < min{r, ε/M}. Тог-
да для любых z
0
, z
00
принадлежащих K и удовлетворяющих условию
|z
0
− z
00
| < δ будем иметь [z
0
, z
00
] ⊂ K
1
и
|f(z
0
) − f(z
00
)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
[z
0
,z
00
]
f
0
(z) dz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ M · |z
0
− z
00
| < Mδ ≤ ε.
2
Теорема 3 (Монтеля). Если F ⊂ H(D) — локально равномерно
ограниченное в D семейство, то из всякой последовательности
{f
n
} ⊂ F можно выбрать подпоследовательность {f
n
k
}, сходящу-
юся локально равномерно в D.
Доказательство. Пусть K
1
⊂ K
2
⊂ ··· — компактное исчерпание
области D, т. е. K
j
— компактные подмножества в D и
∞
S
j=1
K
j
= D.
Такую последовательность компактных множеств можно построить,
например, следующим образом. Выберем R > 0 и натуральное N так,
чтобы множество
{
z ∈ D : dist(z, ∂D) ≥
1
N
,
|
z
| ≤
R
}
было не пусто. Тогда в качестве искомой последовательности можно
взять множества
K
j
= {z ∈ D : dist(z, ∂D) ≥
1
N + j
, |z| ≤ R + j}, j = 1, 2, . . . .
В силу предыдущей теоремы семейство F удовлетворяет на каж-
дом компакте K
j
условиям теоремы Арцела, т. е. оно является на
каждом K
j
равномерно ограниченным и равностепенно непрерыв-
ным семейством функций . Следовательно, если {f
n
} — произвольная
последовательность функций из F, то из неё можно выделить под-
последовательность {f
1,k
}, сходящуюся равномерно на K
1
. Из этой
§ 3.   Принцип компактности                                                                               99

также будет компактным подмножеством области D. По предыдущей
теореме найдется такое M > 0, что

                     |f 0 (z)| ≤ M при всех z ∈ K1 и f ∈ F.

      Пусть теперь ε > 0 произвольное. Выберем δ < min{r, ε/M }. Тог-
да для любых z 0 , z 00 принадлежащих K и удовлетворяющих условию
|z 0 − z 00 | < δ будем иметь [z 0 , z 00 ] ⊂ K1 и
                                   ¯                          ¯
                                   ¯                          ¯
                                   ¯ Z                        ¯
                                   ¯                          ¯
        |f (z 0 ) − f (z 00 )| =   ¯
                                   ¯
                                                     0
                                                    f (z) dz ¯¯   ≤ M · |z 0 − z 00 | < M δ ≤ ε.
                                   ¯                          ¯
                                   ¯ [z 0 ,z 00 ]             ¯

                                                                                            2

Теорема 3 (Монтеля). Если F ⊂ H(D) — локально равномерно
ограниченное в D семейство, то из всякой последовательности
{fn } ⊂ F можно выбрать подпоследовательность {fnk }, сходящу-
юся локально равномерно в D.

Доказательство. Пусть K1 ⊂ K2 ⊂ · · · — компактное исчерпание
                                                    ∞
                                                    S
области D, т. е. Kj — компактные подмножества в D и   Kj = D.
                                                                                           j=1
Такую последовательность компактных множеств можно построить,
например, следующим образом. Выберем R > 0 и натуральное N так,
чтобы множество
                                                                     1
                       {z ∈ D : dist(z, ∂D) ≥                          , |z| ≤ R}
                                                                     N
было не пусто. Тогда в качестве искомой последовательности можно
взять множества
                                                         1
   Kj = {z ∈ D : dist(z, ∂D) ≥                              , |z| ≤ R + j},           j = 1, 2, . . . .
                                                       N +j
    В силу предыдущей теоремы семейство F удовлетворяет на каж-
дом компакте Kj условиям теоремы Арцела, т. е. оно является на
каждом Kj равномерно ограниченным и равностепенно непрерыв-
ным семейством функций. Следовательно, если {fn } — произвольная
последовательность функций из F, то из неё можно выделить под-
последовательность {f1,k }, сходящуюся равномерно на K1 . Из этой

Страницы