Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 95 стр.

§ 2.   Принцип открытости                                            97

Теорема 2 (Принцип открытости или сохранения области).
Непостоянная аналитическая функция переводит открытые мно-
жества в открытые, а область — в область.

Доказательство. Утверждение сразу же следует из теоремы 1.
                                                    2

Теорема 3 (Принцип максимума модуля). Если f — непосто-
янная аналитическая в области D функция, то максимум модуля
|f |, а также максимумы и минимумы Ref и Imf не могут дости-
гаться во внутренних точках области D.

Задача. В какой точке квадрата достигается максимум произведений
четырех расстояний от точек до вершин квадрата.

Теорема 4 (Лемма Шварца). Пусть аналитическая в единичном
круге D функция f удовлетворяет условиям: f (0) = 0 и |f (z)| ≤ 1
при z ∈ D. Тогда

                  |f 0 (0)| ≤ 1 и |f (z)| ≤ |z| при z ∈ D.

При этом знак равенства достигается лишь в случае, когда f (z) ≡
eiα z, α ∈ R.

Доказательство. Из предположений теоремы следует аналитич-
ность в D функции ϕ(z) = f (z)/z. Для каждого r ∈ (0, 1) в силу
принципа максимума имеем
                                           1              1
              max |ϕ(z)| = max |ϕ(z)| =      max |f (z)| ≤ .
              |z|≤r         |z|=r          r |z|=r        r
Для фиксированного z ∈ D можно осуществить предельный переход в
неравенстве |ϕ(z)| ≤ 1/r при r → 1. Таким образом, |ϕ(z)| ≤ 1 при z ∈
D, что эквивалентно неравенству |f (z)| ≤ |z|. Неравенство |f 0 (0)| ≤ 1
следует из полученного неравенства и замечания, что ϕ(0) = f 0 (0).
    Допустим теперь, что в одном из доказанных неравенств дости-
гается знак равенства. Это означало бы, что |ϕ(z0 )| = 1 для неко-
торой z0 ∈ D. В силу принципа максимума тогда следовало бы, что
ϕ(z) ≡ eiα z.
                                                           2