Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

96 Глава V . Основные принципы
§2. Принцип открытости
Вначале установим один результат, который даёт представление
о локальной структуре отображения, осуществляемого непостоянной
аналитической функцией.
Теорема 1 (О локальной структуре отображения). Пусть f го-
ломорфна в области D и f(z
0
) = w
0
, z
0
∈ D. Допустим также, что
функция f(z) − w
0
имеет в z
0
нуль порядка n, т.е. f
0
(z
0
) = . . . =
f
(n−1)
(z
0
) = 0 и f
(n)
(z
0
) 6= 0. Тогда найдутся также окрестности
O
r
(z
0
) и O
ρ
(w
0
), что уравнение w
0
= f(z) имеет ровно n различных
корней в
˙
O
r
(z
0
) при любом w
0
∈
˙
O
ρ
(w
0
).
Доказательство. Из условия теоремы следует, что f(z) 6≡ const.
В силу изолированности нулей аналитической функции найдется
окрестность O
r
(z
0
), которая вместе с замыканием содержится в облас-
ти D и функции f(z) −w
0
, f
0
(z) не обращаются в нуль в O
r
(z
0
)\{z
0
}.
Пусть γ = ∂O
r
(z
0
) и Γ = f(γ). Замечая, что Γ не проходит через
точку w
0
, выберем число ρ > 0 меньше, чем расстояние от w
0
до Γ.
Фиксируем произвольное w
0
∈
˙
O
ρ
(w
0
). Из условия выбора ρ следует
выполнение неравенства
|w
0
− w
0
| < |f(z) − w
0
|
при всех z ∈ γ. Но тогда по теореме Руш´е функции
f(z) −w
0
и f(z) −w
0
= (f(z) − w
0
) + ( w
0
− w
0
)
имеют в O
r
(z
0
) одинаковое число нулей с учетом их кратности. Од-
нако функция f(z) − w
0
имеет в O
r
(z
0
) один нуль z = z
0
порядка n.
Поскольку f
0
(z) 6= 0 при z ∈
˙
O
r
(z
0
), то все нули функции f(z) − w
0
в O
r
(z
0
) являются простыми. Таким образом, в O
r
(z
0
) содержится
ровно n точек z
1
, . . . , z
n
, которые являются решениями уравнения
f(z) = w
0
.
2
Следствие. Условие f
0
(z) 6= 0 является необходимым для однолист-
ности функции f в области D.
96                                         Глава V .    Основные принципы

§ 2.   Принцип открытости

    Вначале установим один результат, который даёт представление
о локальной структуре отображения, осуществляемого непостоянной
аналитической функцией.

Теорема 1 (О локальной структуре отображения). Пусть f го-
ломорфна в области D и f (z0 ) = w0 , z0 ∈ D. Допустим также, что
функция f (z) − w0 имеет в z0 нуль порядка n, т.е. f 0 (z0 ) = . . . =
f (n−1) (z0 ) = 0 и f (n) (z0 ) 6= 0. Тогда найдутся также окрестности
Or (z0 ) и Oρ (w0 ), что уравнение w0 = f (z) имеет ровно n различных
корней в Ȯr (z0 ) при любом w0 ∈ Ȯρ (w0 ).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что f (z) 6≡ const.
В силу изолированности нулей аналитической функции найдется
окрестность Or (z0 ), которая вместе с замыканием содержится в облас-
ти D и функции f (z) − w0 , f 0 (z) не обращаются в нуль в Or (z0 )\{z0 }.
Пусть γ = ∂Or (z0 ) и Γ = f (γ). Замечая, что Γ не проходит через
точку w0 , выберем число ρ > 0 меньше, чем расстояние от w0 до Γ.
Фиксируем произвольное w0 ∈ Ȯρ (w0 ). Из условия выбора ρ следует
выполнение неравенства

                           |w0 − w0 | < |f (z) − w0 |

при всех z ∈ γ. Но тогда по теореме Руше́ функции

          f (z) − w0   и    f (z) − w0 = (f (z) − w0 ) + (w0 − w0 )

имеют в Or (z0 ) одинаковое число нулей с учетом их кратности. Од-
нако функция f (z) − w0 имеет в Or (z0 ) один нуль z = z0 порядка n.
Поскольку f 0 (z) 6= 0 при z ∈ Ȯr (z0 ), то все нули функции f (z) − w0
в Or (z0 ) являются простыми. Таким образом, в Or (z0 ) содержится
ровно n точек z1 , . . . , zn , которые являются решениями уравнения
f (z) = w0 .
                                                             2

Следствие. Условие f 0 (z) 6= 0 является необходимым для однолист-
ности функции f в области D.

Страницы