Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 92 стр.

94                                     Глава V .   Основные принципы

    Другими словами, интеграл в правой части (1) выражает при-
ращение (деленное на 2π) аргумента точки w, совершающей обход
цикла Γ. В связи с этим соотношение (1) называется также принци-
пом аргумента в теории аналитических функций.
    На практике принцип аргумента чаще всего применяется через
следующий результат.

Теорема 2 (Руше́). Пусть D — область, ограниченная циклом γ,
и f, g — аналитические на D функции, удовлетворяющие условию
|f (z)| < |g(z)| при z ∈ γ. Тогда g и g +f имеют в D одинаковое число
нулей с учетом их кратности.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что g и g + f не
обращаются в нуль на γ. Пусть N1 — число нулей g, а N2 — число
нулей g + f в D с учетом их кратности. Тогда функция F = (g + f )/g
является мероморфной на D и разность между числом N её нулей
и числом P её полюсов в D с учетом их кратности равна N − P =
N2 − N1 . Однако, как отмечалось выше,

                           N − P = J(Γ, 0),

где Γ = F (γ). С другой стороны, из условия |F (z) − 1| < 1 при z ∈ γ
следует, что Γ содержится в круге |w − 1| < 1 и J(Γ, 0) = 0. Таким
образом, N2 − N1 = 0 и N2 = N1 .
                                                           2
    В заключение приведем результат, касающийся локально равно-
мерной сходимости.

Теорема 3 (Гурвица). Пусть функции fn ∈ H(D), n = 1, 2, . . . , не
обращаются в нуль в D и fn → f локально равномерно в D. Тогда
либо f (z) ≡ 0 в D, либо f не обращается в нуль в D.

Доказательство. Пусть f (z) 6≡ 0. Фиксируем произвольно точку
a ∈ D. В силу изолированности нулей найдется r > 0 такое, что
Or (a) ⊂ D и f не обращается в нуль на γ = ∂Or (a). Как непрерывная
на компакте функция |f | отделена от нуля на γ, т. е. |f (z)| ≥ δ > 0 при