Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Принцип аргумента 93
на множестве K с учетом их кратности будем понимать сумму крат-
ностей полюсов (соответственно, нулей), попадающих на K.
Теорема 1. Пусть D — область, ограниченная циклом γ, и f —
мероморфная на D функция, не имеющая нулей и полюсов на γ. Тог-
да число N ее нулей и число P полюсов в области D с учетом их
кратности удовлетворяют соотношению
N − P =
1
2πi
Z
γ
f
0
(z)
f(z)
dz. (1)
Доказательство. Поскольку D является компактом в области меро-
морфности функции f, то в D содержится лишь конечное число нулей
и полюсов. Пусть a
1
, . . . , a
n
— её нули в D с кратностями s
1
, . . . , s
n
, а
b
1
, . . . , b
m
— её полюсы с кратностями q
1
, . . . , q
m
соответственно. Тог-
да N = s
1
+ ··· + s
n
и P = q
1
+ ··· + q
m
. Далее рассмотрим функцию
g(z) =
n
Y
j=1
(z − a
j
)
−s
j
·
m
Y
j=1
(z − b
j
)
q
j
· f(z).
Очевидно, что изолированные особые точки a
1
, . . . , a
n
, b
1
, . . . , b
m
функции g являются устранимыми. Следовательно, функция g явля-
ется голоморфной и не обращается в нуль на D. Поскольку
f(z) = (z − a
1
)
s
1
· . . . · (z − a
n
)
s
n
· (z − b
1
)
−q
1
· . . . · (z − b
n
)
−q
m
g(z)
и
f
0
(z)
f(z)
=
n
X
j=1
s
j
z − a
j
−
m
X
j=1
q
j
z − b
j
+
g
0
(z)
g(z)
,
то, применяя теорему Коши к аналитической на D функции g
0
/g, по-
лучаем
1
2πi
Z
γ
f
0
(z)
f(z)
dz =
n
X
j=1
s
j
· J(γ, a
j
) −
m
X
j=1
q
j
· J(γ, b
j
) = N − P.
2
Замечание. Пусть Γ — цикл, полученный из γ преобразованием
w = f(z). Тогда
1
2πi
Z
γ
f
0
(z)
f(z)
dz =
1
2πi
Z
Γ
dw
w
= J(Γ, 0).
§ 1.     Принцип аргумента                                                                    93

на множестве K с учетом их кратности будем понимать сумму крат-
ностей полюсов (соответственно, нулей), попадающих на K.
Теорема 1. Пусть D — область, ограниченная циклом γ, и f —
мероморфная на D функция, не имеющая нулей и полюсов на γ. Тог-
да число N ее нулей и число P полюсов в области D с учетом их
кратности удовлетворяют соотношению
                                               1 Z f 0 (z)
                                 N −P =                    dz.                                (1)
                                              2πi γ f (z)

Доказательство. Поскольку D является компактом в области меро-
морфности функции f , то в D содержится лишь конечное число нулей
и полюсов. Пусть a1 , . . . , an — её нули в D с кратностями s1 , . . . , sn , а
b1 , . . . , bm — её полюсы с кратностями q1 , . . . , qm соответственно. Тог-
да N = s1 + · · · + sn и P = q1 + · · · + qm . Далее рассмотрим функцию
                                n
                                Y                    m
                                                     Y
                       g(z) =       (z − aj )−sj ·       (z − bj )qj · f (z).
                                j=1                  j=1

Очевидно, что изолированные особые точки a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm
функции g являются устранимыми. Следовательно, функция g явля-
ется голоморфной и не обращается в нуль на D. Поскольку
       f (z) = (z − a1 )s1 · . . . · (z − an )sn · (z − b1 )−q1 · . . . · (z − bn )−qm g(z)
и
                        f 0 (z)   Xn    sj     Xm    qj     g 0 (z)
                                =            −            +         ,
                        f (z)     j=1 z − aj   j=1 z − bj   g(z)
то, применяя теорему Коши к аналитической на D функции g 0 /g, по-
лучаем
            1 Z f 0 (z)      Xn                   Xm
                        dz =     sj · J(γ, aj ) −     qj · J(γ, bj ) = N − P.
           2πi γ f (z)       j=1                  j=1

                                                                                 2

Замечание. Пусть Γ — цикл, полученный из γ преобразованием
w = f (z). Тогда
                          1 Z f 0 (z)       1 Z dw
                                      dz =         = J(Γ, 0).
                         2πi γ f (z)       2πi Γ w

Страницы