Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

Глава V
Основные принципы
§1. Принцип аргумента
Совокупность H(D) всех голоморфных в области D функций об-
разует кольцо, т. е. замкнуто относительно суммы, разности и произ-
ведения функций. Что касается частного f/g двух функций из H (D),
то оно голоморфно в D, за исключением нулей знаменателя g. Допус-
тим, что g(a) = 0, a ∈ D. В силу изолированности нулей найдется
такая окрестность O
r
(a) ⊂ D, в которой f и g будут иметь пред-
ставление f (z) = (z − a)
n
f
1
(z) , g(z) = (z − a)
m
g
1
(z), где f
1
и g
1
—
аналитические не обращающиеся в нуль в O
r
(a) функции. Но тогда
в
˙
O
r
(a) будем иметь:
f(z)
g(z)
= ( z − a)
n−m
f
1
(x)
g
1
(x)
Поскольку f
1
/g
1
∈ H(O
r
(a)), то f/g имеет в a устранимую особен-
ность при n ≥ m и полюс при n < m. При этом кратность полюса
будет равна m − n.
Будем говорить, что функция f мероморфна в области D, если
она голоморфна всюду в D, за исключением, быть может, некото-
рого множества полюсов. Очевидно, совокупность M(D) всех меро-
морфных в области D функций образует поле. Под мероморфностью
функции в точке естественно понимать мероморфность в некоторой
ее окрестности.
Поскольку полюсы, как и нули, мероморфной в области D функ-
ции являются изолированными, то на любом компакте K ⊂ D их
может быть лишь конечное число. Под числом полюсов (или нулей)
92
Глава V

Основные принципы

§ 1.   Принцип аргумента

      Совокупность H(D) всех голоморфных в области D функций об-
разует кольцо, т. е. замкнуто относительно суммы, разности и произ-
ведения функций. Что касается частного f /g двух функций из H(D),
то оно голоморфно в D, за исключением нулей знаменателя g. Допус-
тим, что g(a) = 0, a ∈ D. В силу изолированности нулей найдется
такая окрестность Or (a) ⊂ D, в которой f и g будут иметь пред-
ставление f (z) = (z − a)n f1 (z) , g(z) = (z − a)m g1 (z), где f1 и g1 —
аналитические не обращающиеся в нуль в Or (a) функции. Но тогда
в Ȯr (a) будем иметь:

                        f (z)              f1 (x)
                              = (z − a)n−m
                        g(z)               g1 (x)

Поскольку f1 /g1 ∈ H(Or (a)), то f /g имеет в a устранимую особен-
ность при n ≥ m и полюс при n < m. При этом кратность полюса
будет равна m − n.
     Будем говорить, что функция f мероморфна в области D, если
она голоморфна всюду в D, за исключением, быть может, некото-
рого множества полюсов. Очевидно, совокупность M(D) всех меро-
морфных в области D функций образует поле. Под мероморфностью
функции в точке естественно понимать мероморфность в некоторой
ее окрестности.
     Поскольку полюсы, как и нули, мероморфной в области D функ-
ции являются изолированными, то на любом компакте K ⊂ D их
может быть лишь конечное число. Под числом полюсов (или нулей)
                                   92

Страницы