Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

90 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
интеграл к виду
−i
Z
|z|=1
R
Ã
1
2
Ã
z +
1
z
!
,
1
2i
Ã
z −
1
z
!!
dz
z
.
Остается найти вычеты в полюсах, попадающих внутрь единичного
круга.
Например, вычислим интеграл
π
Z
0
dθ
a + cos θ
, a > 1.
Замечая, что расширение интервала интегрирования до (0, 2π) при-
водит к удвоению результата, получаем
π
Z
0
dθ
a + cos θ
=
1
2
2π
Z
0
dθ
a + cos θ
= −i
Z
|z|=1
dz
z
2
+ 2az + 1
.
Поскольку
z
2
+ 2az + 1 = (z − z
1
)(z − z
2
),
где z
k
= −a + (−1)
k
√
a
2
− 1, и |z
1
| > 1, |z
2
| < 1, то
π
Z
0
dθ
a + cos θ
= 2π Res
z=z
2
(
−i
z
2
+ 2az + 1
)
=
π
√
a
2
− 1
.
Пример 2. Интеграл вида
∞
Z
−∞
R(x) dx,
где R — рациональная функция, сходится в том и только в том слу-
чае, если R не имеет полюсов на вещественной оси, и степень знаме-
нателя, по–крайней мере на 2 порядка выше степени числителя. Вы-
берем ρ > 0 так, чтобы все полюсы функции R содержались в круге
O
ρ
(0). Пусть γ
+
ρ
— часть положительно ориентированной окружнос-
ти |z| = ρ, расположенная в верхней полуплоскости. По теореме о
вычетах
ρ
Z
−ρ
R(x) dx +
Z
γ
+
ρ
R(z) dz = 2πi
X
Im a>0
Res
z=a
R(z).
90 Глава IV .             Изолированные особые точки и разложения в ряды

интеграл к виду
                               Z       Ã       Ã          !    Ã            !!
                                        1    1   1    1                          dz
                         −i           R   z+   ,   z−                               .
                              |z|=1
                                        2    z 2i     z                          z

Остается найти вычеты в полюсах, попадающих внутрь единичного
круга.
    Например, вычислим интеграл
                                      Zπ         dθ
                                                        ,     a > 1.
                                      0
                                              a + cos θ

Замечая, что расширение интервала интегрирования до (0, 2π) при-
водит к удвоению результата, получаем
           Zπ      dθ       1 Z2π  dθ            Z         dz
                          =               = −i         2
                                                                   .
           0
                a + cos θ   2 0 a + cos θ      |z|=1
                                                     z   + 2az + 1

Поскольку
                   z 2 + 2az + 1 = (z − z1 )(z − z2 ),
                   √
где zk = −a + (−1)k a2 − 1, и |z1 | > 1, |z2 | < 1, то
               Zπ                                     (                 )
                       dθ                     −i           π
                              = 2π Res
                                   z=z2 z 2 + 2az + 1
                                                      = √        .
               0
                    a + cos θ                             a2 − 1

Пример 2. Интеграл вида
                                                 Z∞
                                                      R(x) dx,
                                                −∞

где R — рациональная функция, сходится в том и только в том слу-
чае, если R не имеет полюсов на вещественной оси, и степень знаме-
нателя, по–крайней мере на 2 порядка выше степени числителя. Вы-
берем ρ > 0 так, чтобы все полюсы функции R содержались в круге
Oρ (0). Пусть γ+ρ — часть положительно ориентированной окружнос-
ти |z| = ρ, расположенная в верхней полуплоскости. По теореме о
вычетах        ρ    Z                     Z                         X
                         R(x) dx +             R(z) dz = 2πi                Res
                                                                            z=a
                                                                                R(z).
                    −ρ                 γ+                          Im a>0
                                        ρ

Страницы