Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§5. Вычеты 89
где γ
ρ
— положительно ориентированная окружность |z| = ρ, ρ > R.
Интегрируя почленно лорановское разложение f(z) =
P
∞
n=−∞
c
n
z
n
на
γ
ρ
, получаем
Res
∞
f = −c
−1
.
Члены с отрицательными степенями входят в правильную, а не в
главную часть лорановского разложения в бесконечности. В отличие
от конечных точек вычет в бесконечности может оказаться не равным
нулю даже в случае, когда бесконечность является устранимой особой
точкой.
Теорема 3. Пусть f — аналитическая в C функция, исключая ко-
нечное число особых точек a
1
, . . . , a
N
. Тогда
Res
∞
f +
N
X
k=1
Res
a
k
f = 0.
Доказательство. Пусть γ — окружность с центром в начале ко-
ординат и такая, что все a
k
, k = 1, . . . , N, попадают внутрь круга,
ограниченного γ. Применение предыдущей теоремы дает требуемый
результат.
2
Теория вычетов — эффективный инструмент для вычисления
определенных интегралов. Следует при этом иметь в виду, что
подынтегральная функция должна быть близка к аналитической. Это
на практике, как правило, выполняется. Более существенным явля-
ется то, что теория вычетов связана с интегрированием по замкнуто-
му контуру, в то время как в вещественном анализе интегрирование
ведется по отрезку. Рассмотрим на примерах, как эти трудности пре -
одолеваются.
Пример 1. Интеграл вида
2π
Z
0
R(cos θ, sin θ) dθ,
где R — рациональная функция, можно вычислять посредством вы-
четов. Введение комплексной переменной z = e
iθ
преобразует наш
§ 5.   Вычеты                                                       89

где γρ — положительно ориентированная окружность |z| = ρ, ρ > R.
                                                  P
Интегрируя почленно лорановское разложение f (z) = ∞        n
                                                   n=−∞ cn z на
γρ , получаем
                         Res
                          ∞
                             f = −c−1 .
    Члены с отрицательными степенями входят в правильную, а не в
главную часть лорановского разложения в бесконечности. В отличие
от конечных точек вычет в бесконечности может оказаться не равным
нулю даже в случае, когда бесконечность является устранимой особой
точкой.

Теорема 3. Пусть f — аналитическая в C функция, исключая ко-
нечное число особых точек a1 , . . . , aN . Тогда
                                    N
                                    X
                        Res
                         ∞
                            f+            Res
                                           a
                                              f = 0.
                                           k
                                    k=1


Доказательство. Пусть γ — окружность с центром в начале ко-
ординат и такая, что все ak , k = 1, . . . , N , попадают внутрь круга,
ограниченного γ. Применение предыдущей теоремы дает требуемый
результат.
                                                             2
    Теория вычетов — эффективный инструмент для вычисления
определенных интегралов. Следует при этом иметь в виду, что
подынтегральная функция должна быть близка к аналитической. Это
на практике, как правило, выполняется. Более существенным явля-
ется то, что теория вычетов связана с интегрированием по замкнуто-
му контуру, в то время как в вещественном анализе интегрирование
ведется по отрезку. Рассмотрим на примерах, как эти трудности пре-
одолеваются.
Пример 1. Интеграл вида

                         Z2π
                               R(cos θ, sin θ) dθ,
                         0

где R — рациональная функция, можно вычислять посредством вы-
четов. Введение комплексной переменной z = eiθ преобразует наш

Страницы