Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§5. Вычеты 87
часть лорановского разложения f в окрестности бесконечно удален -
ной точки является полиномом P (z) = c
1
z + . . . + c
m
z
m
, c
m
6= 0. Но
тогда g = f −P также будет целой функцией , и бесконечно удаленная
точка для g будет устраняемой. Следовательно, g(z) ≡ const и f —
полином.
Целые функции с существенной особенностью на бесконечности
называются целыми трансцендентными функциями. Таковыми явля-
ются e
z
, sin z, cos z.
§5. Вычеты
Пусть a — изолированная особая точка функции f и
˙
O
r
(a) — про-
колотая окрестность, в которой f аналитична. Тогда в силу теоремы
Коши, интеграл
1
2πi
Z
γ
ρ
f(z) dz,
где γ
ρ
= ∂O
ρ
(a), 0 < ρ < r, не зависит от ρ. Его значение называется
вычетом функции f в точке a и обозначается Res
a
f или Res
z=a
f(z).
Теорема 1. Вычет функции f в изолированной особой точке a ∈
C равен коэффициенту при (z − a)
−1
лорановского разложения f в
окрестности точки a.
Доказательство. Поскольку ряд Лорана f(z) =
P
∞
n=−∞
c
n
(z − a)
n
сходится равномерно на окружности γ
ρ
, то его можно почленно ин-
тегрировать:
1
2πi
Z
γ
ρ
f(z) dz = c
−1
J(γ
ρ
, a) = c
−1
.
2
Замечание. Из хода доказательства видно, что если γ — замкну-
тая кусочно–гладкая кривая, расположенная в
˙
O
r
(a), то
1
2πi
Z
γ
f(z) dz = c
−1
J(γ, a) = J(γ, a) Res
a
f.
Следствие. В устранимой особой точке вычет равен нулю.
§ 5.   Вычеты                                                          87

часть лорановского разложения f в окрестности бесконечно удален-
ной точки является полиномом P (z) = c1 z + . . . + cm z m , cm 6= 0. Но
тогда g = f − P также будет целой функцией, и бесконечно удаленная
точка для g будет устраняемой. Следовательно, g(z) ≡ const и f —
полином.
    Целые функции с существенной особенностью на бесконечности
называются целыми трансцендентными функциями. Таковыми явля-
ются ez , sin z, cos z.

§ 5.   Вычеты

    Пусть a — изолированная особая точка функции f и Ȯr (a) — про-
колотая окрестность, в которой f аналитична. Тогда в силу теоремы
Коши, интеграл
                            1 Z
                                  f (z) dz,
                           2πi γρ
где γρ = ∂Oρ (a), 0 < ρ < r, не зависит от ρ. Его значение называется
вычетом функции f в точке a и обозначается Res   a
                                                    f или Res
                                                          z=a
                                                              f (z).

Теорема 1. Вычет функции f в изолированной особой точке a ∈
C равен коэффициенту при (z − a)−1 лорановского разложения f в
окрестности точки a.
                                                         P
Доказательство. Поскольку ряд Лорана f (z) = ∞           n=−∞ cn (z − a)
                                                                         n

сходится равномерно на окружности γρ , то его можно почленно ин-
тегрировать:
                  1 Z
                        f (z) dz = c−1 J(γρ , a) = c−1 .
                 2πi γρ
                                                                2

Замечание. Из хода доказательства видно, что если γ — замкну-
тая кусочно–гладкая кривая, расположенная в Ȯr (a), то
                 1 Z
                      f (z) dz = c−1 J(γ, a) = J(γ, a) Res
                                                        a
                                                           f.
                2πi γ

Следствие. В устранимой особой точке вычет равен нулю.

Страницы