Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

86 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
где g ∈ H(O
r
(a)) и g не имеет нулей в O
r
(a). Функция 1/g также
будет аналитической в O
r
(a) и ее разложение в ряд Тейлора можно
записать в виде
1
g(z)
=
∞
X
n=0
c
n
(z − a)
n
, c
0
6= 0.
Теперь получаем представление
f(z) = (z − a)
−m
∞
X
n=0
c
n
(z − a)
n
,
которое в силу теоремы 2 предыдущего параграфа и есть лорановское
разложение функции f.
Из доказанного и заключений относительно устранимой особой
точки следует утверждение о существенно особой точке.
2
Определение. Порядком (или кратностью) полюса a функции f на-
зывается порядок этой точки как нуля функции 1/f.
Из доказательства теоремы 3 видно, что порядок полюса совпада-
ет с номером старшего члена главной части лорановского разложения
функции в окрестности полюса.
Голоморфная в C функция называется целой. В этом случае, как
и в случае голоморфности f во внешности круга |z| > R, естественно
рассмотреть бесконечность как изолированную особую точку. Клас-
сификация особых точек на этот случай распространяется путем за-
мены z = 1/ζ и переноса характера особенности точки ζ = 0 функции
f(1/ζ) на точку z = ∞ функции f(z). Если в лорановском разложе-
нии в окрестности бесконечности , т. е. по степеням z во внешности
круга |z| > R, под главной частью понимать совокупность членов с
положительными степенями, то связь между классификацией и видом
главной части будет такой же, как и в конечных точках.
Характер особенности на бесконечности во многом определяет
целую функцию. Действительно, если бесконечность является устра-
нимой особой точкой, то, по теореме Лиувилля, целая функция сво-
дится к тождественной постоянной. Если это — полюс, то главная
86 Глава IV .   Изолированные особые точки и разложения в ряды

где g ∈ H(Or (a)) и g не имеет нулей в Or (a). Функция 1/g также
будет аналитической в Or (a) и ее разложение в ряд Тейлора можно
записать в виде
                   1    ∞
                        X
                      =    cn (z − a)n ,         c0 6= 0.
                  g(z) n=0

Теперь получаем представление
                                      ∞
                                      X
                  f (z) = (z − a)−m         cn (z − a)n ,
                                      n=0

которое в силу теоремы 2 предыдущего параграфа и есть лорановское
разложение функции f .
    Из доказанного и заключений относительно устранимой особой
точки следует утверждение о существенно особой точке.
                                                       2

Определение. Порядком (или кратностью) полюса a функции f на-
зывается порядок этой точки как нуля функции 1/f .

     Из доказательства теоремы 3 видно, что порядок полюса совпада-
ет с номером старшего члена главной части лорановского разложения
функции в окрестности полюса.
     Голоморфная в C функция называется целой. В этом случае, как
и в случае голоморфности f во внешности круга |z| > R, естественно
рассмотреть бесконечность как изолированную особую точку. Клас-
сификация особых точек на этот случай распространяется путем за-
мены z = 1/ζ и переноса характера особенности точки ζ = 0 функции
f (1/ζ) на точку z = ∞ функции f (z). Если в лорановском разложе-
нии в окрестности бесконечности, т. е. по степеням z во внешности
круга |z| > R, под главной частью понимать совокупность членов с
положительными степенями, то связь между классификацией и видом
главной части будет такой же, как и в конечных точках.
     Характер особенности на бесконечности во многом определяет
целую функцию. Действительно, если бесконечность является устра-
нимой особой точкой, то, по теореме Лиувилля, целая функция сво-
дится к тождественной постоянной. Если это — полюс, то главная

Страницы