Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
то c
n
= 0 при всех отрицательных номерах n. Таким образом, ряд
Лорана функции f в
˙
O
r
(a) является, по существу, обычным степен-
ным рядом и определяет в O
r
(a) голоморфную функцию g, которая
совпадает с f в
˙
O
r
(a).
2
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что переопреде-
ление (или доопределение) функции f в устранимой особой точке a
делает ее аналитической в полной окрестности O
r
(a). Этим объ-
ясняется название.
Следствие. Пусть f ∈ H(D) и a (a ∈ D) — нуль порядка m функции
f. Тогда в D имеет место равенство:
f(z) = (z − a)
m
g(z),
где g ∈ H(D) и g(a) 6= 0.
Доказательство. Функция g, определенная равенством g(z) =
f(z)
(z − a)
n
, является аналитической в D\{a}. Легко видеть также, что a
является для g устранимой особой точкой. Следовательно, g ∈ H(D).
Условие g(a) = 0 обозначало бы, что f имеет в a нуль более высокого
порядка, чем m. Таким образом, g(a) 6= 0.
Теорема 2 (Сохоцкого, Вейерштрасса). Множество значений,
принимаемых аналитической функцией в любой окрестности су-
щественно особой точки, является всюду плотным в C.
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется комплекс-
ное число A ∈ C и ε > 0 такие, что |f(z) − A| > ε при z ∈
˙
O
r
(a),
где a — существенно особая точка функции f, а O
r
(a) — некоторая
ее окрестность. Функция g(z) = 1/(f(z) − A) будет аналитической и
ограниченной в
˙
O
r
(a). По теореме 1 a является устранимой особой
точкой функции g. Если g(a) 6= 0, то f(z) → 1/g(a)+ A при z → a и a
будет устранимой особой точкой и для f. В случае же g(a) = 0 должно
84 Глава IV .    Изолированные особые точки и разложения в ряды

то cn = 0 при всех отрицательных номерах n. Таким образом, ряд
Лорана функции f в Ȯr (a) является, по существу, обычным степен-
ным рядом и определяет в Or (a) голоморфную функцию g, которая
совпадает с f в Ȯr (a).
                                                       2


Замечание. Из доказательства теоремы видно, что переопреде-
ление (или доопределение) функции f в устранимой особой точке a
делает ее аналитической в полной окрестности Or (a). Этим объ-
ясняется название.

Следствие. Пусть f ∈ H(D) и a (a ∈ D) — нуль порядка m функции
f . Тогда в D имеет место равенство:

                            f (z) = (z − a)m g(z),

где g ∈ H(D) и g(a) 6= 0.

Доказательство. Функция g, определенная равенством g(z) =
  f (z)
         , является аналитической в D\{a}. Легко видеть также, что a
(z − a)n
является для g устранимой особой точкой. Следовательно, g ∈ H(D).
Условие g(a) = 0 обозначало бы, что f имеет в a нуль более высокого
порядка, чем m. Таким образом, g(a) 6= 0.

Теорема 2 (Сохоцкого, Вейерштрасса). Множество значений,
принимаемых аналитической функцией в любой окрестности су-
щественно особой точки, является всюду плотным в C.

Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется комплекс-
ное число A ∈ C и ε > 0 такие, что |f (z) − A| > ε при z ∈ Ȯr (a),
где a — существенно особая точка функции f , а Or (a) — некоторая
ее окрестность. Функция g(z) = 1/(f (z) − A) будет аналитической и
ограниченной в Ȯr (a). По теореме 1 a является устранимой особой
точкой функции g. Если g(a) 6= 0, то f (z) → 1/g(a) + A при z → a и a
будет устранимой особой точкой и для f . В случае же g(a) = 0 должно

Страницы