Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 83 стр.

§ 4.   Изолированные особые точки                                        85

выполнятся предельное соотношение f (z) → ∞ при z → a, что озна-
чает — a является полюсом функции f . Полученное противоречие с
условием теоремы завешает доказательство.
                                                     2
    При доказательстве теоремы 1 мы установили также, что a яв-
ляется устранимой особой точкой функции f в том и только в том
случае, если лорановское разложение в проколотой окрестности этой
точки не содержит главной части. Оказывается главная часть лора-
новского разложения полностью определяет характер особой точки.

Теорема 3. Изолированная особая точка a ∈ C функции f является
полюсом (существенно особой) в том и только том случае, если
главная часть ряда Лорана функции f в проколотой окрестности
Ȯr (a) содержит конечное (бесконечное) число отличных от нуля
членов.

Доказательство. Пусть лорановское разложение функции f в
окрестности Ȯr (a) имеет вид

       f (z) = c−m (z − a)−m + c−m+1 (z − a)−m+1 + . . . ,   c−m 6= 0.

Функция ϕ, представимая рядом
                                  ∞
                                  X
                         ϕ(z) =         ck−m (z − a)k ,
                                  k=0

является аналитической в Or (a) и ϕ(a) = c−m 6= 0. Из равенст-
ва f (z) = (z − a)−m ϕ(z) следует, что f (z) → ∞ при z → a. Таким
образом, a — полюс функции.
     Допустим теперь, что a — полюс. Тогда f не обращается в
нуль в некоторой проколотой окрестности Ȯr (a) и, следовательно, в
этой окрестности является аналитической функция 1/f . Кроме того,
1/f (z) → 0 при z → a. Из теоремы 1 следует, что a является устра-
нимой особой точкой для 1/f . Пусть m — порядок нуля функции 1/f
в точке a. Тогда
                           1
                               = (z − a)m g(z),
                         f (z)