Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Изолированные особые точки 83
§4. Изолированные особые точки
Если для a ∈ C найдется такая окрестность O
r
(a), что f явля-
ется голоморфной в проколотой окрестности
˙
O
r
(a) = O
r
(a) \ {a}, то
a называется изолированной особой точкой функции f. В зависимос-
ти от поведения функции при приближении к особой точке проведем
следующую классификацию.
Определение. Изолированная особая точка a функции f называет-
ся:
(I) устранимой особой точкой , если существует конечный пре-
дел
lim
z→a
f(z) = A;
(II) полюсом, если f (z) → ∞ при z → a;
(III) существенно особой точкой , если f не имеет ни конечного,
ни бесконечного предела при z → a.
Теорема 1. Изолированная особая точка a функции f является
устранимой в том и только в том случае, если f ограничена в
некоторой проколотой окрестности
˙
O
r
(a).
Доказательство. Необходимость очевидна.
Для доказательства достаточности допустим, что |f(z)| ≤ M при
всех z ∈
˙
O
r
(a) и некотором M > 0. По теореме Лорана f представима
в
˙
O
r
(a) рядом вида:
f(z) =
∞
X
n=−∞
c
n
(z − a)
n
,
где
c
n
=
1
2πi
Z
γ
ρ
f(ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
,
γ
ρ
— положительно ориентированная окружность |z − a| = ρ, а ρ
можно выбрать любым в интервале (0, r). Поскольку
|c
n
| ≤
1
2π
M · ρ
−n
2π = Mρ
−n
,
§ 4.   Изолированные особые точки                                83

§ 4.   Изолированные особые точки

    Если для a ∈ C найдется такая окрестность Or (a), что f явля-
ется голоморфной в проколотой окрестности Ȯr (a) = Or (a) \ {a}, то
a называется изолированной особой точкой функции f . В зависимос-
ти от поведения функции при приближении к особой точке проведем
следующую классификацию.

Определение. Изолированная особая точка a функции f называет-
ся:

   (I) устранимой особой точкой, если существует конечный пре-
    дел
                           lim f (z) = A;
                           z→a

   (II) полюсом, если f (z) → ∞ при z → a;
   (III) существенно особой точкой, если f не имеет ни конечного,
    ни бесконечного предела при z → a.

Теорема 1. Изолированная особая точка a функции f является
устранимой в том и только в том случае, если f ограничена в
некоторой проколотой окрестности Ȯr (a).

Доказательство. Необходимость очевидна.
      Для доказательства достаточности допустим, что |f (z)| ≤ M при
всех z ∈ Ȯr (a) и некотором M > 0. По теореме Лорана f представима
в Ȯr (a) рядом вида:
                                   ∞
                                   X
                       f (z) =          cn (z − a)n ,
                                 n=−∞

где
                                 1 Z f (ζ) dζ
                        cn =                      ,
                                2πi γρ (ζ − a)n+1
γρ — положительно ориентированная окружность |z − a| = ρ, а ρ
можно выбрать любым в интервале (0, r). Поскольку
                               1
                    |cn | ≤      M · ρ−n 2π = M ρ−n ,
                              2π

Страницы