Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 80 стр.

82 Глава IV .   Изолированные особые точки и разложения в ряды

Определение. Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по
формулам (2), называется рядом Лорана функции f в кольце K. Со-
вокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями на-
зывается его правильной частью, а совокупность членов с отрица-
тельными степенями — главной частью.

Теорема 2 (Единственности). Если функция f в кольце

                    K = {z : r < |z − a| < R}

представима рядом вида (1), то коэффициенты этого ряда опреде-
ляются по формулам (2).

Доказательство. Фиксируем ρ ∈ (r, R). Ряд (1) сходится равномер-
но на окружности γρ . Поэтому его можно почленно интегрировать.
Равномерная сходимость не нарушается, если его умножить на огра-
ниченную функцию. Умножая равенство (1) на (z − a)−m−1 , где m —
произвольное целое, и переходя к почленному интегрированию, полу-
чим
               X∞     Z                  Z    f (z) dz
                              n−m−1
                   cn (z − a)       dz =            m+1
                                                        .
              n=−∞   γρ                  γρ (z − a)

Однако в левой части все слагаемые, кроме соответствующего индек-
су n = m, обращаются в нуль и мы получаем
                                  Z      f (z) dz
                     cm · 2πi =                   .
                                  γρ   (z − a)m+1

                                                       2
     Теорему 2 можно сформулировать так: всякий сходящийся ряд
(1) является рядом Лорана своей суммы. Формулы (2) для вычисле-
ния коэффициентов ряда Лорана на практике применяются довольно
редко ввиду громоздкости сопутствующих вычислений. На основании
доказанной теоремы для получения лорановского разложения можно
использовать любой корректный прием. Результат будет один и тот
же.