Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§3. Ряды Лорана 81
В силу интегральной формулы Коши имеем в K
0
представление
f(z) =
1
2πi
Z
γ
R
0
f(ζ) dζ
ζ − z
−
1
2πi
Z
γ
r
0
f(ζ) dζ
ζ − z
= f
1
(z) + f
2
(z)
Функцию f
1
можно рассматривать как интеграл Коши в круге
|z − a| < R
0
. Ее разложение в ряд Тейлора (см., например, доказа-
тельство теоремы 1 предыдущего параграфа) имеет вид:
f
1
(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z −a)
n
,
где коэффициенты c
n
определяются по ф ормуле (2).
Для получения разложения функции f
2
во внешности круга |z −
a| > r
0
представим ядро Коши в виде
−
1
ζ − z
=
1
(z −a)
Ã
1 −
ζ − a
z −a
!
=
∞
X
n=1
(ζ − a)
n−1
(z −a)
n
.
Поскольку при |z − a| > z
0
и ζ ∈ γ
r
0
выполняется неравенство
¯
¯
¯
¯
¯
ζ − a
z − a
¯
¯
¯
¯
¯
=
r
0
|z − a|
< 1,
то полученный ряд сходится равномерно по ζ ∈ γ
r
0
и его можно
почленно интегрировать. Умножая его на ограниченную функцию
1
2πi
f(ζ) и интегрируя почленно, получим
f
2
(z) =
∞
X
n=1
b
n
(z − a)
n
,
где
b
n
=
1
2πi
Z
γ
r
0
(ζ − a)
n−1
f(ζ) dζ = c
−n
.
Складывая теперь полученные разложения для f
1
и f
2
, получим раз-
ложение (1) для функции f в кольце K
0
. Поскольку r
0
и R
0
выбирались
произвольно и коэффициенты c
n
не зависят от этого выбора, то по-
лученное представление имеет место во всем K.
§ 3.   Ряды Лорана                                                              81

В силу интегральной формулы Коши имеем в K 0 представление

                  1 Z f (ζ) dζ    1 Z f (ζ) dζ
         f (z) =               −               = f1 (z) + f2 (z)
                 2πi γR0 ζ − z   2πi γr0 ζ − z

    Функцию f1 можно рассматривать как интеграл Коши в круге
|z − a| < R0 . Ее разложение в ряд Тейлора (см., например, доказа-
тельство теоремы 1 предыдущего параграфа) имеет вид:
                                          ∞
                                          X
                           f1 (z) =             cn (z − a)n ,
                                          n=0

где коэффициенты cn определяются по формуле (2).
    Для получения разложения функции f2 во внешности круга |z −
a| > r0 представим ядро Коши в виде

                  1                   1                      ∞
                                                             X   (ζ − a)n−1
            −        =            Ã                  !   =                  .
                ζ −z                        ζ −a             n=1  (z − a) n
                         (z − a) 1 −
                                            z−a
Поскольку при |z − a| > z 0 и ζ ∈ γr0 выполняется неравенство
                           ¯          ¯
                           ¯ζ
                           ¯    − a ¯¯   r0
                           ¯         ¯=       < 1,
                           ¯z   − a ¯ |z − a|

то полученный ряд сходится равномерно по ζ ∈ γr0 и его можно
почленно интегрировать. Умножая его на ограниченную функцию
 1
    f (ζ) и интегрируя почленно, получим
2πi
                                           ∞
                                           X     bn
                            f2 (z) =                 n
                                                       ,
                                          n=1 (z − a)

где
                           1 Z
                   bn =           (ζ − a)n−1 f (ζ) dζ = c−n .
                          2πi γr0
Складывая теперь полученные разложения для f1 и f2 , получим раз-
ложение (1) для функции f в кольце K 0 . Поскольку r0 и R0 выбирались
произвольно и коэффициенты cn не зависят от этого выбора, то по-
лученное представление имеет место во всем K.

Страницы