Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 77 стр.

§ 3.   Ряды Лорана                                                     79

то найдется окрестность Oδ (a), в которой нет нулей функции f , от-
личных от a. Действительно, в некоторой окрестности Or (a) функция
f представима рядом Тейлора:
                                ∞
                                X
             f (z) = (z − a)m         cm+k (z − a)k = (z − a)m ϕ(z).
                                n=0

Здесь ϕ — голоморфная в Or (a) функция и ϕ(a) = cm 6= 0. В силу
непрерывности ϕ найдется окрестность Oδ (a), в которой ϕ не обра-
щается в ноль. Ввиду отсутствия делителей нуля в поле комплексных
чисел f (z) 6= 0 при z ∈ Oδ (a) \ {a}.
Теорема 3 (Единственности). Если две голоморфные в области
D функции f и g совпадают на множестве E, которое имеет хотя
бы одну предельную точку a, принадлежащую D, то f (z) ≡ g(z)
всюду в D.
Доказательство. Нам нужно доказать, что h(z) = f (z) − g(z) обра-
щается в нуль в D тождественно. По условию теоремы h обращается
в нуль на E. В силу непрерывности a также является нулем функции
h. Из предыдущего видно, что его порядок не может быть конечным
и, следовательно, h обращается в нуль в некоторой окрестности Oδ (a).
     Пусть теперь A — внутренность множества нулей функции h.
Очевидно, что A открыто и a ∈ A. Покажем, что B = D \ A также
является открытым. Действительно, если b ∈ B не является внутрен-
ней точкой, то в любой ее окрестности найдутся точки из A, т. е. b —
предельная точка нулей функции h. Но по доказанному она должна
тогда принадлежать A. Таким образом, D = A ∪ B, где A и B —
открытые непересекающиеся множества. В силу связности D одно из
этих множеств пусто. Однако A 6= ∅. Следовательно, B = ∅ и D = A.
                                                          2

Следствие. Если f (z) 6≡ 0 голоморфна в области D, то все ее нули
изолированы и конечного порядка.

§ 3.    Ряды Лорана

       Рассмотрим вначале ряд вида:
                         b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . .