Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

78 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
Поскольку коэффициенты (2) ряда (1) не зависят ни от точки z, ни от
выбора окружности γ
r
, то ряд (1) сходится и представляет функцию
f, по-крайней мере в круге O
ρ
(z
0
), где ρ = dist(z
0
, ∂D).
2
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по ф ормулам (2),
называется рядом Тейлора функции f в точке z
0
.
Теорема 2. Если f в круге O
r
(z
0
) представима как сумма степен-
ного ряда (1), то его коэффициенты определяются однозначно ра-
венствами c
n
= f
(n)
/n!, n = 0, 1, 2, . . .
Доказательство. Подставляя в (1) z = z
0
, находим f(z
0
) = c
0
. Ра-
венство в случае n = 1, 2, . . . получается в результате n-кратного
дифференцирования и последующей подстановки z = z
0
.
2
Доказанная теорема утверждает единственность разложения
функции в степенной ряд с данным центром. Ее иногда формулируют
в виде: всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора
своей суммы. В вещественном анализе недостаточно даже бесконеч-
ной дифференцируемости, чтобы она была суммой своего ряда Тей -
лора. Классическим примером является f(x) = e
−1/x
2
.
Точка a ∈ C называется нулем функции f, если f(a) = 0.
Определение. Порядком (или кратностью) нуля a ∈ C функции f,
голоморфной в этой точке , называется наименьший номер отлич-
ной от нуля производной f
(n)
(a). Другими словами, точка a называ-
ется нулем f порядка m, если
f(a) = . . . = f
(m−1)
= 0 , f
(m)
(a)6=0.
Из формул для коэффициентов ряда Тейлора следует
,
что поря
-
док нуля совпадает с наименьшим номером отличного от нуля коэф-
фициента тейлоровского разложения функции в этой точке. При этом,
если a — нуль бесконечного порядка, то f(z) ≡ 0 в некоторой окрест-
ности O
r
(a). С другой стороны, если a — нуль конечного порядка m,
78 Глава IV .   Изолированные особые точки и разложения в ряды

Поскольку коэффициенты (2) ряда (1) не зависят ни от точки z, ни от
выбора окружности γr , то ряд (1) сходится и представляет функцию
f , по-крайней мере в круге Oρ (z0 ), где ρ = dist(z0 , ∂D).
                                                             2
    Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2),
называется рядом Тейлора функции f в точке z0 .

Теорема 2. Если f в круге Or (z0 ) представима как сумма степен-
ного ряда (1), то его коэффициенты определяются однозначно ра-
венствами cn = f (n) /n!, n = 0, 1, 2, . . .

Доказательство. Подставляя в (1) z = z0 , находим f (z0 ) = c0 . Ра-
венство в случае n = 1, 2, . . . получается в результате n-кратного
дифференцирования и последующей подстановки z = z0 .
                                                         2
    Доказанная теорема утверждает единственность разложения
функции в степенной ряд с данным центром. Ее иногда формулируют
в виде: всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора
своей суммы. В вещественном анализе недостаточно даже бесконеч-
ной дифференцируемости, чтобы она была суммой своего ряда Тей-
                                                  2
лора. Классическим примером является f (x) = e−1/x .
    Точка a ∈ C называется нулем функции f , если f (a) = 0.

Определение. Порядком (или кратностью) нуля a ∈ C функции f ,
голоморфной в этой точке, называется наименьший номер отлич-
ной от нуля производной f (n) (a). Другими словами, точка a называ-
ется нулем f порядка m, если

                f (a) = . . . = f (m−1) = 0 , f (m) (a)6=0.

    Из формул для коэффициентов ряда Тейлора следует, что поря-
док нуля совпадает с наименьшим номером отличного от нуля коэф-
фициента тейлоровского разложения функции в этой точке. При этом,
если a — нуль бесконечного порядка, то f (z) ≡ 0 в некоторой окрест-
ности Or (a). С другой стороны, если a — нуль конечного порядка m,

Страницы