Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава IV . Изолированные особые точки и разложения в ряды
Доказательство. Учитывая локальный характер наших утверж-
дений, фиксируем произвольную точку z
0
и выберем 0 < r <
dist(z
0
, ∂D). Тогда O
r
(z
0
) содержится в D вместе со своим замыкани-
ем и по условию теоремы найдется номер N, такой, что O
r
(z
0
) ⊂ D
n
при n ≥ N. При этом f
n
→ f равномерно на O
r
(z
0
). Следователь-
но, f является непрерывной функцией и для любой кусочно–гладкой
замкнутой кривой γ ⊂ O
r
(z
0
) имеем:
lim
n→∞
Z
γ
f
n
(z) dz =
Z
γ
f(z) dz.
Однако по теореме Коши интегралы слева равны нулю. Но тогда в
силу произвольности кривой γ функция f является аналитической в
O
r
(z
0
) на основании теоремы Морера. Поскольку z
0
была произволь-
ной точкой в D, то f ∈ H (D).
Для доказательства второй части утверждения воспользуемся
интегральными формулами Коши:
f
0
(z) =
1
2πi
Z
Γ
f(ζ) dζ
(ζ − z)
2
, f
0
n
(z) =
1
2πi
Z
Γ
f
n
(ζ) dζ
(ζ − z)
2
,
z ∈ O
r
(z
0
), n ≥ N. Здесь Γ — положительно ориентированная окруж-
ность |z − z
0
| = r. В круге O
r/
2
(z
0
) будем иметь:
|f
0
(z) −f
0
n
(z)| =
1
2π
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
Г
f(ζ) − f
n
(ζ)
(ζ − z)
2
dζ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
4
r
max
ζ∈Γ
{|f(ζ) − f
n
(ζ)|}
Поскольку правая часть неравенства не зависит от z ∈ O
r/2
(z
0
)
и стремится к нулю при n → ∞, то f
0
n
→ f
0
равномерно в круге
O
r/2
(z
0
).
2
Ранее мы доказали аналитичность суммы степенного ряда. Тео-
рема Вейерштрасса позволяет расширить этот результат.
Теорема 2. Если ряд f(z) =
P
∞
n=1
f
n
(z), составленный из аналити-
ческих в области D функций, сходится локально равномерно в D,
то его сумма является аналитической в D функцией, и его можно
почленно дифференцировать .
76 Глава IV .        Изолированные особые точки и разложения в ряды

Доказательство. Учитывая локальный характер наших утверж-
дений, фиксируем произвольную точку z0 и выберем 0 < r <
dist(z0 , ∂D). Тогда Or (z0 ) содержится в D вместе со своим замыкани-
ем и по условию теоремы найдется номер N , такой, что Or (z0 ) ⊂ Dn
при n ≥ N . При этом fn → f равномерно на Or (z0 ). Следователь-
но, f является непрерывной функцией и для любой кусочно–гладкой
замкнутой кривой γ ⊂ Or (z0 ) имеем:
                                   Z                 Z
                             lim
                             n→∞
                                       fn (z) dz =       f (z) dz.
                                   γ                 γ

Однако по теореме Коши интегралы слева равны нулю. Но тогда в
силу произвольности кривой γ функция f является аналитической в
Or (z0 ) на основании теоремы Морера. Поскольку z0 была произволь-
ной точкой в D, то f ∈ H(D).
     Для доказательства второй части утверждения воспользуемся
интегральными формулами Коши:

                0      1 Z f (ζ) dζ    0       1 Z fn (ζ) dζ
              f (z) =               , f (z) =                ,
                      2πi Γ (ζ − z)2 n        2πi Γ (ζ − z)2

z ∈ Or (z0 ), n ≥ N . Здесь Γ — положительно ориентированная окруж-
ность |z − z0 | = r. В круге Or/2 (z0 ) будем иметь:
                              ¯                          ¯
     0                      1 ¯¯¯Z f (ζ) − fn (ζ) ¯¯¯ 4
   |f (z) −   fn0 (z)|   =      ¯                dζ ¯ ≤ max{|f (ζ) − fn (ζ)|}
                           2π ¯ Г (ζ − z)2          ¯  r ζ∈Γ

     Поскольку правая часть неравенства не зависит от z ∈ Or/2 (z0 )
и стремится к нулю при n → ∞, то f 0 n → f 0 равномерно в круге
Or/2 (z0 ).
                                                       2
    Ранее мы доказали аналитичность суммы степенного ряда. Тео-
рема Вейерштрасса позволяет расширить этот результат.
                                         P
Теорема 2. Если ряд f (z) = ∞
                            n=1 fn (z), составленный из аналити-
ческих в области D функций, сходится локально равномерно в D,
то его сумма является аналитической в D функцией, и его можно
почленно дифференцировать.

Страницы