Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 72 стр.

74                        Глава III .         Комплексное интегрирование

Теорема 4. Если функция f голоморфна во всей плоскости C и
ограничена, то она тождественно постоянна.

Доказательство. Пусть |f (z)| ≤ M при всех z ∈ C. Полагая в (4)
z = z0 и выбирая в качестве γ положительно ориентированную гра-
ницу круга |z − z0 | < r, получим

                        |f (n) (z0 )| ≤ n!M r−n .                    (5)

Осуществляя предельный переход при r → ∞, получаем f (n) (z0 ) = 0.
Поскольку точка z0 выбиралась произвольной, то f (n) (z) ≡ 0. При
n = 1 мы получаем требуемое.
                                                        2
    Доказанный результат сразу же влечет основную теорему алгеб-
ры. Неравенства (5) носят имя Коши. Приведем еще одно геометри-
ческое свойство аналитических функций.

Теорема 5 (О среднем). Пусть f голоморфна в области D и
O(a, r) ⊂ D. Тогда

                              1   Z2π
                     f (a) =            f (a + reiθ ) dθ.
                             2π   0

Доказательство. Выбирая в (3) z = a и γ : ζ = a + reiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π,
приходим к утверждению теоремы.
                                                          2