Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

72 Глава III . Комплексное интегрирование
Доказательство. Докажем вначале непрерывность F
1
. Для произ-
вольной точки z
0
∈ C \γ выберем δ > 0 так, чтобы O(z
0
, δ) не пересе-
калось с γ. Тогда для z ∈ O(z
0
, δ/2) будем иметь
|F
1
(z) − F
1
(z
0
)| = |z −z
0
|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
γ
ϕ(ζ) dζ
(ζ − z)(ζ − z
0
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ |z −z
0
|
2
δ
2
Z
γ
|ϕ(ζ)||dζ|,
откуда следует непрерывность F
1
в точке z
0
.
Заметим теперь, что отношение разностей
F
1
(z) − F
1
(z
0
)
z −z
0
=
Z
γ
ϕ(ζ) dζ
(ζ − z)(ζ − z
0
)
имеет ту же структуру, что и F
1
, с плотностью ϕ/(ζ −z
0
). Поэтому, по
доказанному, ее предел при z → z
0
существует и равен F
2
(z
0
). Таким
образом, равенство F
0
1
(z) = F
2
(z) установлено.
Воспользуемся теперь методом индукции и допустим, что дока-
зано соотношение F
0
n−1
(z) = (n − 1)F
n
(z). Тогда из представления
F
n
(z) − F
n
(z
0
) =
Z
γ
ϕ(ζ) dζ
(ζ − z)
n−1
(ζ − z
0
)
−
Z
γ
ϕ(ζ) dζ
(ζ − z
0
)
n
+
+(z − z
0
)
Z
γ
ϕ(ζ) dζ
(ζ − z)
n
(ζ − z
0
)
можно получить непрерывность F
n
. Действительно, при z → z
0
выра-
жение в квадратных скобках стремится к нулю по предположению ин-
дукции, примененному к плотности ϕ/(ζ −z
0
), а интеграл при (z −z
0
)
является ограниченным. Поделив теперь обе части равенства на z−z
0
и используя предположение индукции и непрерывность F
n
с плотнос-
тью ϕ/(ζ − z
0
), получаем:
lim
z→z
0
F
n
(z) − F
n
(z
0
)
z − z
0
= (n − 1)F
n+1
(z
0
) + F
n+1
(z
0
) = nF
n+1
(z
0
),
что и следовало доказать.
2
Следствие. Из леммы и замечания к теореме 1 следует бесконеч-
ная дифференцируемость аналитической функции. Кроме того, в
72                                  Глава III .        Комплексное интегрирование

Доказательство. Докажем вначале непрерывность F1 . Для произ-
вольной точки z0 ∈ C \ γ выберем δ > 0 так, чтобы O(z0 , δ) не пересе-
калось с γ. Тогда для z ∈ O(z0 , δ/2) будем иметь
                                     ¯                      ¯
                                     ¯Z                     ¯
                                     ¯        ϕ(ζ) dζ       ¯             2 Z
 |F1 (z) − F1 (z0 )| = |z −   z0 | ¯¯¯                      ¯
                                                            ¯ ≤ |z − z0 |      |ϕ(ζ)||dζ|,
                                     ¯γ   (ζ − z)(ζ − z0 ) ¯¯             δ2 γ

откуда следует непрерывность F1 в точке z0 .
    Заметим теперь, что отношение разностей
                     F1 (z) − F1 (z0 ) Z      ϕ(ζ) dζ
                                      =
                          z − z0        γ (ζ − z)(ζ − z0 )

имеет ту же структуру, что и F1 , с плотностью ϕ/(ζ −z0 ). Поэтому, по
доказанному, ее предел при z → z0 существует и равен F2 (z0 ). Таким
образом, равенство F10 (z) = F2 (z) установлено.
    Воспользуемся теперь методом индукции и допустим, что дока-
                   0
зано соотношение Fn−1   (z) = (n − 1)Fn (z). Тогда из представления
                                                                             
                                 Z         ϕ(ζ) dζ       Z ϕ(ζ) dζ
                                                                     
        Fn (z) − Fn (z0 ) =     
                                             n−1
                                                       −            n
                                                                      +
                                 γ    (ζ − z) (ζ − z0 ) γ (ζ − z0 )
                                            Z       ϕ(ζ) dζ
                        +(z − z0 )
                                           γ    (ζ − z)n (ζ − z0 )
можно получить непрерывность Fn . Действительно, при z → z0 выра-
жение в квадратных скобках стремится к нулю по предположению ин-
дукции, примененному к плотности ϕ/(ζ − z0 ), а интеграл при (z − z0 )
является ограниченным. Поделив теперь обе части равенства на z−z0
и используя предположение индукции и непрерывность Fn с плотнос-
тью ϕ/(ζ − z0 ), получаем:

          Fn (z) − Fn (z0 )
     lim
     z→z
                            = (n − 1)Fn+1 (z0 ) + Fn+1 (z0 ) = nFn+1 (z0 ),
        0      z − z0
что и следовало доказать.
                                                                               2
Следствие. Из леммы и замечания к теореме 1 следует бесконеч-
ная дифференцируемость аналитической функции. Кроме того, в

Страницы