Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 71 стр.

§ 5.   Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия                    73

условиях справедливости формулы (3) выполняется также равен-
ство:
                                 n! Z f (ζ) dζ
                    f (n) (z) =                  ,       (4)
                                2πi γ (ζ − z)n+1
которое доказывается из леммы индукцией и также называется
интегральной формулой Коши для производных.
    Приведем еще несколько следствий интегральной формулы Ко-
ши.
Теорема 2 (Морера). Если f определена и непрерывна в области
        R
D и если f dz = 0 для любой замкнутой кусочно–гладкой кривой γ
           γ
в D, то f аналитична в D.
Доказательство. Условие теоремы означает, что f dz — полный
дифференциал в D. Следовательно, найдется аналитическая в D
функция F , для которой F 0 (z) = f (z). Таким образом, f аналитична
как производная аналитической функции.
                                                           2
       Следующий результат часто используется в приложениях.

Теорема 3. Пусть f — аналитическая в односвязной области D
функция и f (z) 6= 0 при z ∈ D. Тогда в D выделяются однозначные
ветви ln f (z) и (f (z))a , a ∈ C.

Доказательство. Поскольку f 0 также аналитична в D и f не обра-
щается в нуль в D, то f 0 /f является аналитичной в D и по теореме
Коши для односвязной области имеет в D первообразную F , т. е.
F 0 = f 0 /f . Для некоторой точки z0 ∈ D фиксируем значение ln f (z0 ) и
нормируем F с условием F (z0 ) = ln f (z0 ). Тогда поскольку
               ³              ´0
                   f (z)e−F (z) = f 0 (z)e−F (z) − F 0 (z)f (z)e−F (z) = 0

всюду в D и f (z0 )e−F (z0 ) = 1, то f (z)e−F (z) ≡ 1 и f (z) ≡ eF (z) . По-
следнее равенство означает, что F (z) = ln f (z). Выделение степени
f a определяется по формуле f a = ea ln f .
                                                               2
    Следующий классический результат известен как теорема Лиу-
вилля.