Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

Глава IV
Изолированные особые точки и
разложения в ряды
§1. Локально равномерная сходимость
В дальнейшем для области D ⊂ C через H(D) будем обозначать
совокупность всех голоморфных в D функций.
Определение. Будем говорить, что последовательность функций
f
n
∈ H(D
n
), n = 1, 2, . . ., сходится локально равномерно в области D
к функции f, если для каждой точки z
0
∈ D найдутся окрестности
O
ε
(z
0
) и натуральное число N, такие, что O
ε
(z
0
) ⊂ D
n
при n ≥ N
и f
n
(z) → f(z) равномерно в O
ε
(z
0
) при n → ∞.
Замечание. Приведенное определение можно дать в терминах ком-
пактных подмножеств области D : f
n
→ f локально равномерно в
D ⇔ ∀ компактного множества K ⊂ D найдется номер N, такой,
что K ⊂ D
n
при n ≥ N и f
n
(z) → f(z) равномерно на K.
Пример. f
n
(z) = z/(1 + 2z
n
), n = 1, 2, . . . Здесь функция f
n
является
аналитической в круге D
n
= {z : |z| < 2
−1/n
} и f
n
6∈ H(D). С другой
стороны, f
n
(z) → z локально равномерно в D. Интересно также об-
ратить внимание на то, что предельная функция f(z) ≡ z является
аналитической во всей комплексной плоскости C.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть f
n
∈ H(D
n
), n = 1, 2, . . . , и
f
n
(z) → f(z) локально равномерно в D. Тогда f ∈ H(D) и f
0
n
(z) →
f
0
(z) локально равномерно в D.
75
Глава IV

Изолированные особые точки и
разложения в ряды

§ 1.   Локально равномерная сходимость

    В дальнейшем для области D ⊂ C через H(D) будем обозначать
совокупность всех голоморфных в D функций.

Определение. Будем говорить, что последовательность функций
fn ∈ H(Dn ), n = 1, 2, . . ., сходится локально равномерно в области D
к функции f , если для каждой точки z0 ∈ D найдутся окрестности
Oε (z0 ) и натуральное число N , такие, что Oε (z0 ) ⊂ Dn при n ≥ N
и fn (z) → f (z) равномерно в Oε (z0 ) при n → ∞.

Замечание. Приведенное определение можно дать в терминах ком-
пактных подмножеств области D : fn → f локально равномерно в
D ⇔ ∀ компактного множества K ⊂ D найдется номер N , такой,
что K ⊂ Dn при n ≥ N и fn (z) → f (z) равномерно на K.

Пример. fn (z) = z/(1 + 2z n ), n = 1, 2, . . . Здесь функция fn является
аналитической в круге Dn = {z : |z| < 2−1/n } и fn 6∈ H(D). С другой
стороны, fn (z) → z локально равномерно в D. Интересно также об-
ратить внимание на то, что предельная функция f (z) ≡ z является
аналитической во всей комплексной плоскости C.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть fn ∈ H(Dn ), n = 1, 2, . . . , и
fn (z) → f (z) локально равномерно в D. Тогда f ∈ H(D) и fn0 (z) →
f 0 (z) локально равномерно в D.
                                   75

Страницы