Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§2. Тейлоровское разложение и теорема единственности 77
§2. Тейлоровское разложение и теорема единственности
Как было показано ранее, сумма степенного ряда представляет
собой аналитическую функцию в круге сходимости. Оказывается, что
локально каждую аналитическую функцию можно представить в виде
суммы степенного ряда.
Теорема 1. Если f ∈ H(D) и z
0
— произвольная точка области D,
то в любом круге O
r
(z
0
) ⊆ D эту функцию можно представить в
виде суммы сходящегося степенного ряда
f(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
. (1)
Доказательство. Пусть O
r
(z
0
) ⊆ D и z ∈ O
r
(z
0
). Обозначим через
γ
r
положительно ориентированную границу круга O
r
(z
0
). Тогда по
интегральной формуле Коши имеем
f(z) =
1
2πi
Z
γ
r
f(ζ)
ζ − z
dζ.
Разложим теперь ядро Коши
1
ζ − z
в ряд:
1
ζ − z
=
1
(ζ − z
0
)
Ã
1 −
z − z
0
ζ − z
0
!
=
∞
X
n=0
(z − z
0
)
n
(ζ − z
0
)
n+1
.
Поскольку для всех ζ ∈ γ
r
имеем
|z − z
0
|
|ζ − z
0
|
=
|z − z
0
|
r
< 1,
то полученный ряд мажорируется сходящейся прогрессией и потому
сам сходится равномерно на γ
r
. Равномерная сходимость не наруша-
ется при умножении его на непрерывную на γ
r
(а следовательно, и
ограниченную) функцию
1
2πi
f(ζ). Поэтому можно выполнить почлен-
ное интегрирование, что дает представление (1), в котором
c
n
=
1
2πi
Z
γ
r
f(ζ)
(ζ − z
0
)
n+1
dζ =
f
(n)
(z
0
)
n!
. (2)
§ 2.   Тейлоровское разложение и теорема единственности             77

§ 2.   Тейлоровское разложение и теорема единственности

    Как было показано ранее, сумма степенного ряда представляет
собой аналитическую функцию в круге сходимости. Оказывается, что
локально каждую аналитическую функцию можно представить в виде
суммы степенного ряда.

Теорема 1. Если f ∈ H(D) и z0 — произвольная точка области D,
то в любом круге Or (z0 ) ⊆ D эту функцию можно представить в
виде суммы сходящегося степенного ряда
                                    ∞
                                    X
                          f (z) =         cn (z − z0 )n .           (1)
                                    n=0

Доказательство. Пусть Or (z0 ) ⊆ D и z ∈ Or (z0 ). Обозначим через
γr положительно ориентированную границу круга Or (z0 ). Тогда по
интегральной формуле Коши имеем
                                     1 Z f (ζ)
                          f (z) =                dζ.
                                    2πi γr ζ − z
                                    1
Разложим теперь ядро Коши              в ряд:
                                  ζ −z
              1               1              X∞ (z − z )n
                                                          0
                 =          Ã
                                 z − z
                                         ! =                n+1
                                                                .
            ζ −z   (ζ − z0 ) 1 −
                                       0     n=0 (ζ − z 0 )
                                 ζ − z0
Поскольку для всех ζ ∈ γr имеем
                          |z − z0 |   |z − z0 |
                                    =           < 1,
                          |ζ − z0 |      r
то полученный ряд мажорируется сходящейся прогрессией и потому
сам сходится равномерно на γr . Равномерная сходимость не наруша-
ется при умножении его на непрерывную на γr (а следовательно, и
                         1
ограниченную) функцию       f (ζ). Поэтому можно выполнить почлен-
                        2πi
ное интегрирование, что дает представление (1), в котором

                         1 Z      f (ζ)          f (n) (z0 )
                 cn =                       dζ =             .      (2)
                        2πi γr (ζ − z0 )n+1          n!

Страницы