Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 69 стр.

§ 5.   Интегральная формула Коши и некоторые ее следствия        71

и может быть сделано сколь угодно малым при r → 0. Осуществляя
в (2) предельный переход при r → 0, получаем (1).
                                                     2
Замечание. Наиболее частое применение доказанной теоремы отно-
сится к случаю, когда цикл γ ограничивает область D и функция f
является аналитической на множестве D ∪ γ. В этом случае для всех
z ∈ D имеет место равенство:
                                1 Z f (ζ) dζ
                       f (z) =               .                   (3)
                               2πi γ ζ − z

Его называют интегральной формулой Коши. Она позволяет найти
значения функции f внутри области D по ее значениям на границе
γ.
    Интегральная формула Коши дает идеальный инструмент для
исследования локальных свойств аналитических функций. При этом в
качестве γ мы можем брать окружность, которая ограничивает круг,
расположенный в D. В частности, мы можем теперь доказать, что
аналитическая функция имеет производные всех порядков, которые
сами являются аналитическими функциями. Для этого выделим от-
дельно конструкцию, содержащуюся в (1) и (3).
    Пусть γ — некоторая кривая и ϕ — заданная на ней непрерывная
функция. Тогда выражение
                                1 Z ϕ(ζ) dζ
                       F (z) =
                               2πi γ ζ − z

называют интегралом Коши с плотностью ϕ. Формула (3) выражает
тот факт, что f представляет собой внутри D интеграл Коши.
Лемма. Пусть ϕ непрерывна на кривой γ. Тогда функции
                                   Z   ϕ(ζ) dζ
                        Fn (z) =                ,
                                   γ   (ζ − z)n

n = 1, 2, . . ., являются аналитическими в каждой из областей, опре-
деляемых γ, и
                             Fn0 (z) = nFn+1 (z).