Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Общая форма теоремы Коши 69
Таким образом, представление (2) доказано. Покажем теперь, что
это представление является внутренним относительно области D. Бо-
лее точно, что в сумму (2) входят с ненулевыми коэффициентами
лишь те ∂Q
i
, для которых Q
i
⊂ D. Действительно, пусть a ∈ Q
i
и
a 6∈ D. Поскольку λ ∼ 0(mod D), то J(λ, a) = 0. Кроме того, в рас-
сматриваемом случае отрезок [a
i
, a] не пересекает λ и по теореме 1
предыдущего параграфа J(λ, a
i
) = J(λ, a) = 0, т. е. коэффициент
перед ∂Q
i
в сумме (2) равен нулю.
Из теоремы Коши для выпуклой области для прямоугольников
Q
i
⊂ D имеет место равенство
Z
∂Q
i
f(z) dz = 0,
откуда следует равенство
Z
λ
f(z) dz = 0,
которое в силу (1) доказывает теорему.
2
Из доказанной теоремы и гомологического описания односвязной
области (теорема 2 предыдущего параграфа) сразу же следует
Теорема 2. Если f — аналитическая в односвязной области D
функция и γ — замкнутая кривая в D, то
Z
γ
f(z) dz = 0.
В традиционных курсах теории аналитических функций нет упо-
минания о гомологиях и не используется явно понятие индекса. Обыч-
но под γ понимают систему кривых, образующих полную границу не-
которой подобласти в D и ориентированных так, что при их обходе
выделяемая подобласть остается слева. Однако при строгом изложе-
нии нужны значительные усилия, чтобы придать точный смысл это-
му интуитивному представлению. Основное возражение против тако-
го подхода
1
состоит в необходимости очень большую часть времени
1
см.: Ahlfors L.V., Complex analysis, New York: McGraw–Hill, 1966, стр. 150.
§ 4.     Общая форма теоремы Коши                                                    69

     Таким образом, представление (2) доказано. Покажем теперь, что
это представление является внутренним относительно области D. Бо-
лее точно, что в сумму (2) входят с ненулевыми коэффициентами
лишь те ∂Qi , для которых Qi ⊂ D. Действительно, пусть a ∈ Qi и
a 6∈ D. Поскольку λ ∼ 0(mod D), то J(λ, a) = 0. Кроме того, в рас-
сматриваемом случае отрезок [ai , a] не пересекает λ и по теореме 1
предыдущего параграфа J(λ, ai ) = J(λ, a) = 0, т. е. коэффициент
перед ∂Qi в сумме (2) равен нулю.
     Из теоремы Коши для выпуклой области для прямоугольников
Qi ⊂ D имеет место равенство
                                     Z
                                          f (z) dz = 0,
                                    ∂Qi

откуда следует равенство
                                     Z
                                          f (z) dz = 0,
                                     λ

которое в силу (1) доказывает теорему.
                                                                           2
    Из доказанной теоремы и гомологического описания односвязной
области (теорема 2 предыдущего параграфа) сразу же следует

Теорема 2. Если f — аналитическая в односвязной области D
функция и γ — замкнутая кривая в D, то
                                     Z
                                          f (z) dz = 0.
                                     γ

    В традиционных курсах теории аналитических функций нет упо-
минания о гомологиях и не используется явно понятие индекса. Обыч-
но под γ понимают систему кривых, образующих полную границу не-
которой подобласти в D и ориентированных так, что при их обходе
выделяемая подобласть остается слева. Однако при строгом изложе-
нии нужны значительные усилия, чтобы придать точный смысл это-
му интуитивному представлению. Основное возражение против тако-
го подхода1 состоит в необходимости очень большую часть времени
   1
       см.: Ahlfors L.V., Complex analysis, New York: McGraw–Hill, 1966, стр. 150.

Страницы