Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

68 Глава III . Комплексное интегрирование
через a
j
центры прямоугольников Q
j
и покажем, что λ можно пред-
ставить в виде
λ =
n
0
X
j=1
J(λ, a
j
)∂Q
j
. (2)
Для этого нам нужно показать, что
σ = λ −
n
0
X
j=1
J(λ, a
j
)∂Q
j
является нулевым циклом.
Допустим вначале, что σ
ij
— сторона, общая для двух прямо-
угольников Q
i
и Q
j
. Будем считать, что σ
ij
ориентирована как в ∂Q
i
.
Допустим также, что σ
ij
входит в σ с коэффициентом k. Тогда цикл
σ − k∂Q
i
не содержит σ
ij
и точки a
i
, a
j
принадлежат одной и той
же компоненте связности множества C \ (σ − k∂Q
i
). По теореме 1
предыдущего параграфа
J(σ − k∂Q
i
, a
i
) = J(σ − k∂Q
i
, a
j
) (3)
С другой стороны, используя равенство J(∂Q
r
, a
s
) = δ
rs
— символ
Кронекера, получаем
J(σ − k∂Q
i
, a
i
) = J
Ã
λ −
n
0
P
r=1
J(λ, a
r
)∂Q
r
− k∂Q
i
, a
i
!
=
= J(λ, a
i
) − J(λ, a
i
) · J(∂Q
i
, a
i
) − kJ(∂Q
i
, a
i
) = −k
и
J(σ − k∂Q
i
, a
j
) = J(λ, a
j
) − J(λ, a
j
) · 1 − k · 0 = 0.
Таким образом, в силу равенства (3) имеем k = 0 и отрезок σ
ij
не
входит в σ.
Аналогично рассматривается случай, когда σ
ij
является смежной
стороной прямоугольника Q
i
и неограниченной области H
j
. В этом
случае из точки a
i
можно провести луч, расположенный в Q
i
∪ H
j
.
Это означает, что a
i
находится во внешней компоненте множества
C \(σ −k∂Q
i
) и, следовательно, J(σ −k∂Q
i
, a
i
) = 0. С другой стороны,
проведенные выше вычисления дают J(σ −k∂Q
i
, a
i
) = −k, и мы снова
получаем k = 0.
68                             Глава III .       Комплексное интегрирование

через aj центры прямоугольников Qj и покажем, что λ можно пред-
ставить в виде
                                   n0
                                   X
                              λ=         J(λ, aj )∂Qj .                      (2)
                                   j=1

Для этого нам нужно показать, что
                                        n0
                                        X
                           σ =λ−             J(λ, aj )∂Qj
                                      j=1

является нулевым циклом.
    Допустим вначале, что σij — сторона, общая для двух прямо-
угольников Qi и Qj . Будем считать, что σij ориентирована как в ∂Qi .
Допустим также, что σij входит в σ с коэффициентом k. Тогда цикл
σ − k∂Qi не содержит σij и точки ai , aj принадлежат одной и той
же компоненте связности множества C \ (σ − k∂Qi ). По теореме 1
предыдущего параграфа

                     J(σ − k∂Qi , ai ) = J(σ − k∂Qi , aj )                   (3)

С другой стороны, используя равенство J(∂Qr , as ) = δrs — символ
Кронекера, получаем
                          Ã                                  !
                                 n0
                                 P
    J(σ − k∂Qi , ai ) = J λ −         J(λ, ar )∂Qr − k∂Qi , ai =
                                r=1


                    = J(λ, ai ) − J(λ, ai ) · J(∂Qi , ai ) − kJ(∂Qi , ai ) = −k
и
            J(σ − k∂Qi , aj ) = J(λ, aj ) − J(λ, aj ) · 1 − k · 0 = 0.
Таким образом, в силу равенства (3) имеем k = 0 и отрезок σij не
входит в σ.
    Аналогично рассматривается случай, когда σij является смежной
стороной прямоугольника Qi и неограниченной области Hj . В этом
случае из точки ai можно провести луч, расположенный в Qi ∪ Hj .
Это означает, что ai находится во внешней компоненте множества
C\(σ −k∂Qi ) и, следовательно, J(σ −k∂Qi , ai ) = 0. С другой стороны,
проведенные выше вычисления дают J(σ −k∂Qi , ai ) = −k, и мы снова
получаем k = 0.

Страницы