Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Общая форма теоремы Коши 67
противоположной ориентацией. Таким образом, мы нашли цикл γ в
D, который не является гомологичным нулю относительно D.
2
§4. Общая форма теоремы Коши
Понятие цикла, гомологичного нулю, позволяет сформулировать
наиболее общий вид теоремы Коши.
Теорема 1. Пусть f — голоморфная в области D функция и цикл
γ гомологичен нулю относительно области D. Тогда
Z
γ
f(z) dz = 0.
Доказательство. Выполним вначале разбиение γ на дуги γ
1
, . . . , γ
n
так, чтобы каждая γ
j
содержалась в круге ∆
j
⊂ D. Поскольку
f(z) dz — полный дифференциал в ∆
j
, то
Z
γ
j
f(z) dz =
Z
λ
j
f(z) dz,
где λ
j
— ломаная, соединяющая в ∆
j
концы дуги γ
j
и имеющая звенья,
параллельные координатным осям. Сумма λ =
P
n
j=1
λ
j
представляет
собой цикл, состоящий из замкнутых ломаных со звеньями, парал-
лельными координатным осям. При этом
Z
λ
f(z) dz =
Z
γ
f(z) dz. (1)
Заметим, что (1) имеет место для любой аналитической в D функции
f. В частности, если a 6∈ D, то 1/(z −a) является аналитической в D
и J(λ, a) = J(γ, a) = 0, т. е. λ ∼ 0.
Далее, через каждую вершину λ проведем прямые, параллель-
ные координатным осям. В результате мы получим сетку, разбиваю-
щую всю плоскость на конечное число прямоугольников Q
1
, . . . , Q
n
0
и
неограниченных областей H
1
, . . . H
n
00
типа полуполос или углов. Ис-
ключая тривиальный случай, когда λ расположено на одной прямой,
существует хотя бы один прямоугольник, т. е. n
0
6= 0. Обозначим
§ 4.   Общая форма теоремы Коши                                    67

противоположной ориентацией. Таким образом, мы нашли цикл γ в
D, который не является гомологичным нулю относительно D.
                                                     2


§ 4.   Общая форма теоремы Коши

    Понятие цикла, гомологичного нулю, позволяет сформулировать
наиболее общий вид теоремы Коши.

Теорема 1. Пусть f — голоморфная в области D функция и цикл
γ гомологичен нулю относительно области D. Тогда
                               Z
                                   f (z) dz = 0.
                               γ

Доказательство. Выполним вначале разбиение γ на дуги γ1 , . . . , γn
так, чтобы каждая γj содержалась в круге ∆j ⊂ D. Поскольку
f (z) dz — полный дифференциал в ∆j , то
                        Z                 Z
                             f (z) dz =        f (z) dz,
                        γj                λj

где λj — ломаная, соединяющая в ∆j концы дуги γj и имеющая звенья,
                                              P
параллельные координатным осям. Сумма λ = nj=1 λj представляет
собой цикл, состоящий из замкнутых ломаных со звеньями, парал-
лельными координатным осям. При этом
                        Z                 Z
                             f (z) dz =        f (z) dz.           (1)
                        λ                 γ

Заметим, что (1) имеет место для любой аналитической в D функции
f . В частности, если a 6∈ D, то 1/(z − a) является аналитической в D
и J(λ, a) = J(γ, a) = 0, т. е. λ ∼ 0.
     Далее, через каждую вершину λ проведем прямые, параллель-
ные координатным осям. В результате мы получим сетку, разбиваю-
щую всю плоскость на конечное число прямоугольников Q1 , . . . , Qn0 и
неограниченных областей H1 , . . . Hn00 типа полуполос или углов. Ис-
ключая тривиальный случай, когда λ расположено на одной прямой,
существует хотя бы один прямоугольник, т. е. n0 6= 0. Обозначим

Страницы