Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава III . Комплексное интегрирование
Доказательство. Допустим вначале, что D односвязна и цикл γ
расположен в D. Поскольку C \D связно и содержит ∞, то оно содер-
жится во внешней компоненте связности множества C \ γ. Следова-
тельно, по теореме 1 имеем J(γ, a) = 0 для всех a 6∈ D, что означает
γ ∼ 0(mod D).
Обратно, допустим, что A = C \ D не является связным. Это
означает существование таких открытых множеств G
1
и G
2
, что A
1
=
A ∩G
1
и A
2
= A ∩ G
2
не пусты A = A
1
∪ A
2
, и
G
1
∩ G
2
∩ A 6= 0. (4)
Замкнутость множества A влечет замкнутость A
1
и A
2
. Действитель-
но, если, например, предположить, что ζ ∈ A
2
является предельной
точкой множества A
1
, то O(ζ, ε) ∩ A
1
6= 0 для любого ε > 0. Од-
нако, в силу открытости множества G
2
, найдется такое ε > 0, что
O(ζ, ε) ⊆ G
2
. В результате мы приходим в противоречие с условием
(4).
Одно из множеств, пусть это будет для определенности A
2
, со-
держит ∞. Тогда множество A
1
будет ограниченным и пусть δ > 0
меньше расстояния от A
1
до A
2
. Выберем точку a ∈ A
1
и выполним
разбиение плоскости на квадраты со сторонами δ/2 проведением сет-
ки прямых, параллельных координатным осям, так, чтобы a являлось
центром одного из квадратов Q
0
. Занумеруем также все остальные
квадраты Q
1
, . . . , Q
n
, замыкание которых имеет непустое пересечение
с A
1
. Поскольку A
1
ограничено, то их будет конечное число, а в си-
лу выбора δ пересечение любого с множеством A
2
пусто. Рассмотрим
цикл
γ =
n
X
j=0
∂Q
j
. (5)
Поскольку для каждого из квадратов, кроме Q
0
, точка a является
внешней, то
J(γ, a) =
n
X
j=0
J(∂Q
j
, a) = J(∂Q
0
, a) = 1.
При этом, после аннулирования сторон квадратов, входящих в γ с
противоположной ориентацией, цикл γ будет расположен в D. Дейст-
вительно, каждая сторона, имеющая непустое пересечение с A
1
, вхо-
дит в сумму (5) в качестве частей границ двух смежных квадратов с
66                          Глава III .        Комплексное интегрирование

Доказательство. Допустим вначале, что D односвязна и цикл γ
расположен в D. Поскольку C \ D связно и содержит ∞, то оно содер-
жится во внешней компоненте связности множества C \ γ. Следова-
тельно, по теореме 1 имеем J(γ, a) = 0 для всех a 6∈ D, что означает
γ ∼ 0(mod D).
    Обратно, допустим, что A = C \ D не является связным. Это
означает существование таких открытых множеств G1 и G2 , что A1 =
A ∩ G1 и A2 = A ∩ G2 не пусты A = A1 ∪ A2 , и
                            G1 ∩ G2 ∩ A 6= 0.                         (4)
Замкнутость множества A влечет замкнутость A1 и A2 . Действитель-
но, если, например, предположить, что ζ ∈ A2 является предельной
точкой множества A1 , то O(ζ, ε) ∩ A1 6= 0 для любого ε > 0. Од-
нако, в силу открытости множества G2 , найдется такое ε > 0, что
O(ζ, ε) ⊆ G2 . В результате мы приходим в противоречие с условием
(4).
     Одно из множеств, пусть это будет для определенности A2 , со-
держит ∞. Тогда множество A1 будет ограниченным и пусть δ > 0
меньше расстояния от A1 до A2 . Выберем точку a ∈ A1 и выполним
разбиение плоскости на квадраты со сторонами δ/2 проведением сет-
ки прямых, параллельных координатным осям, так, чтобы a являлось
центром одного из квадратов Q0 . Занумеруем также все остальные
квадраты Q1 , . . . , Qn , замыкание которых имеет непустое пересечение
с A1 . Поскольку A1 ограничено, то их будет конечное число, а в си-
лу выбора δ пересечение любого с множеством A2 пусто. Рассмотрим
цикл
                                      n
                                      X
                                 γ=         ∂Qj .                     (5)
                                      j=0
Поскольку для каждого из квадратов, кроме Q0 , точка a является
внешней, то
                           n
                           X
               J(γ, a) =         J(∂Qj , a) = J(∂Q0 , a) = 1.
                           j=0

При этом, после аннулирования сторон квадратов, входящих в γ с
противоположной ориентацией, цикл γ будет расположен в D. Дейст-
вительно, каждая сторона, имеющая непустое пересечение с A1 , вхо-
дит в сумму (5) в качестве частей границ двух смежных квадратов с

Страницы