Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 63 стр.

§ 3.   Индекс. Цепи и циклы                                     65

и тогда (3) преобразуется в сумму, в которой отсутствуют пары про-
тивоположно ориентированных кривых, но коэффициенты mj могут
быть отрицательными целыми. Допуская также нулевые коэффици-
енты, можно любые две цепи представить в виде (3) с одними и теми
же кривыми γj . Тогда их сумма будет получаться простым суммиро-
ванием коэффициентов при одноименных кривых. Под нулевой цепью
будем понимать либо пустую сумму, либо сумму с нулевыми коэффи-
циентами.
    Цепь γ будем называть циклом, если ее можно представить в
виде (3), где все γj являются замкнутыми кривыми. Будем также
говорить, что цепь (или цикл) содержится в области D, если она
допускает представление (3), в котором все кривые γj расположе-
ны в D. В этом контексте циклы играют роль замкнутых кривых.
В частности, для любого цикла γ и точки a 6∈ γ (т. е. γ допускает
представление (3), каждая кривая γj которого не проходит через a)
определен индекс
                                  n
                                  X
                      J(γ, a) =         mj J(γj , a).
                                  j=1

Он обладает теми свойствами, что были установлены выше, если
кривые заменить на циклы.

Определение. Цикл γ в области D называется гомологичным нулю
относительно области D, если J(γ, a) = 0 для любой точки a 6∈
D. При этом пишут γ ∼ 0(mod D) или просто γ ∼ 0, если ясно,
относительно какой области.

    Понятие γ1 ∼ γ2 (mod D) означает, что γ1 − γ2 ∼ 0(mod D). Запас
циклов в области D, гомологичных нулю, зависит от ее топологичес-
ких свойств, т. е. является топологической характеристикой области.
Можно пойти немного дальше и ввести в рассмотрение группу гомо-
логий.

Теорема 2. Область D ⊆ C односвязна в том и только в том слу-
чае, если всякий цикл γ в D является гомологичным нулю относи-
тельно области D.