Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 61 стр.

§ 3.   Индекс. Цепи и циклы                                        63

что означает равенство J(γ, a) = J(γ, b).
    Осталось показать, что во внешней компоненте J(γ, a) = 0. Это
следует из постоянства индекса в ней и того, что интеграл
                               Z     dz
                               γk   z−a
стремится к нулю, когда a → ∞.
     Рассмотрим случай, когда γ = ∂∆ — положительно ориентиро-
ванная граница круга ∆ = {z : |z − a| < r}. Из геометрического
смысла (или из вычислений, проведенных в конце § 1) следует, что
J(∂∆, a) = 1. В силу доказанной теоремы J(∂∆, ζ) = 1 ∀ζ ∈ ∆ и
J(∂∆, ζ) = 0 при ζ ∈ C \ ∆. Этим оправдывается термин ”положи-
тельно ориентированная граница”. Сделаем еще одно важное наблю-
дение. Если кривую γ непрерывно деформировать, не задевая точку
a, то J(γ, a) будет меняться непрерывно. Однако, в силу целочислен-
ности индекса, J(γ, a) будет оставаться при этом постоянным. Это
может быть эффективно использовано при вычислении индекса отно-
сительно сложных кривых.
     Отмечая, наконец, топологический характер индекса, наметим
путь определения J(γ, a) в случае произвольной замкнутой кривой
γ, не проходящей через точку a. Для этого кривая γ разбивается на
дуги γ1 , . . . , γn , каждая из которых содержится в некотором круге,
не содержащем точки a. Обозначая через σk отрезок, соединяющий
начало и конец дуги γk , определим ломаную σ1 + . . . + σn и положим
J(γ, a) = J(σ, a).

   Упражнения
 1. Покажите, что приведенное выше определение J(γ, a) не зависит
    от ломаной σ.
 2. Покажите, что новое определение индекса совпадает с прежним
    на кусочно–гладких кривых.
 3. Докажите теорему 1 для произвольных замкнутых кривых.
    Как уже отмечалось, обобщение теоремы Коши будем развивать
в двух направлениях. С одной стороны, будем искать наиболее ши-
рокий класс областей, для которых утверждение теоремы остается