Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 59 стр.

§ 3.   Индекс. Цепи и циклы                                          61

образом, f (z) dz является полным дифференциалом в области D и
теорема доказана.
                                                     2
    Замечание. Полученный результат влечет локальную теоре-
му существования первообразной голоморфной функции. Если f го-
ломорфна в произвольной области D, то в любом круге ∆ ⊂ D она
имеет первообразную. Вопрос существования глобальной первообраз-
ной существенно зависит от топологических свойств области D. В
предыдущем параграфе мы видели, что уже в кольце он может ре-
шаться отрицательно. С другой стороны, выпуклость области вовсе
не обязательна.

§ 3.   Индекс. Цепи и циклы

    Чтобы активнее включить аналитический аппарат в изучении
свойств, введем сразу понятие индекса для кусочно–гладких кривых,
хотя это — чисто топологическое понятие. Кроме того, аналитичес-
кое определение индекса позволит в дальнейшем эффективнее его ис-
пользовать в вычислениях.

Определение. Пусть γ — кусочно–гладкая замкнутая кривая, не
проходящая через точку a. Тогда индексом J(γ, a) точки a относи-
тельно кривой γ называется число
                                    1 Z dz
                         J(γ, a) =             .
                                   2πi γ z − a

      Иногда J(γ, a) называют порядком кривой γ относительно точки
a. Выясним геометрический смысл индекса. Пусть z = z(t), α ≤ t ≤
β, — параметризация кривой γ. Поскольку расстояние от a до γ по-
ложительно, то найдется такое разбиение α = t0 < t1 < . . . < tn = β
интервала [α, β], что каждая из кривых γk : z = z(t), tk−1 ≤ t ≤
tk , k = 1, . . . , n, содержится в некотором круге ∆k (каждая в своем),
не содержащем точку a. Очевидно, что γ = γ1 + . . . + γn и
                           1 Z dz        1 X n Z    dz
                J(γ, a) =             =                 .
                          2πi γ z − a   2πi k=1γk z − a