Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

60 Глава III . Комплексное интегрирование
и в силу (2)
|η(∆
n
)| ≤ ε
Z
∂∆
n
|z −z
∗
| · |dz|.
Подынтегральное выражение не превышает периметра треугольника
∆
n
, т. е. величины λ/2
n
, и мы можем продолжить оценку:
|η(∆
n
)| ≤ ε
λ
2
4
n
.
Сравнивая ее с неравенством (1), получаем
|η(∆)| ≤ ελ
2
.
Поскольку ε было произвольным, то η(∆) = 0 и лемма доказана.
2
Теорема 1. Пусть f —аналитическая в выпуклой области D функ-
ция. Тогда f(z) dz — полный дифференциал в D и
Z
γ
f(z) dz = 0
для любой замкнутой кривой γ в D.
Доказательство. Фиксируем произвольно в области D точку a и
определим в D функцию
F (z) =
Z
[a,z]
f(ζ) dζ.
Из доказанной леммы следует, что
F (z + ζ) − F (z) =
Z
[z,z+ζ]
f(ξ) dξ
при любых z ∈ D и ζ, для которого (z + ζ) ∈ D. Здесь мы используем
также выпуклость области D.
Повторяя теперь рассуждения, проведенные при доказательстве
теоремы предыдущего параграфа, придем к заключению о дифферен-
цируемости функции F и выполнению равенства F
0
(z) = f(z). Таким
60                        Глава III .          Комплексное интегрирование

и в силу (2)                        Z
                    |η(∆n )| ≤ ε           |z − z ∗ | · |dz|.
                                   ∂∆n

Подынтегральное выражение не превышает периметра треугольника
∆n , т. е. величины λ/2n , и мы можем продолжить оценку:

                                       λ2
                           |η(∆n )| ≤ ε n .
                                       4
Сравнивая ее с неравенством (1), получаем

                            |η(∆)| ≤ ελ2 .

Поскольку ε было произвольным, то η(∆) = 0 и лемма доказана.
                                                      2

Теорема 1. Пусть f —аналитическая в выпуклой области D функ-
ция. Тогда f(z) dz — полный дифференциал в D и
                            Z
                                f (z) dz = 0
                            γ

для любой замкнутой кривой γ в D.

Доказательство. Фиксируем произвольно в области D точку a и
определим в D функцию
                                    Z
                         F (z) =           f (ζ) dζ.
                                   [a,z]

Из доказанной леммы следует, что
                                                Z
                  F (z + ζ) − F (z) =                  f (ξ) dξ
                                             [z,z+ζ]

при любых z ∈ D и ζ, для которого (z + ζ) ∈ D. Здесь мы используем
также выпуклость области D.
    Повторяя теперь рассуждения, проведенные при доказательстве
теоремы предыдущего параграфа, придем к заключению о дифферен-
цируемости функции F и выполнению равенства F 0 (z) = f (z). Таким

Страницы