Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава III . Комплексное интегрирование
Решение. Пусть
P (z) =
n
X
k=0
b
k
(z −a)
k
⇒ P (z) =
n
X
k=0
b
k
r
2k
(z −a)
k
и
Z
∂∆
P dz = 2πib
1
r
2
.
§2. Теорема Коши в выпуклой области
В предыдущем параграфе мы установили, что существование
первообразной функции f в области D эквивалентно условию незави-
симости интеграла
R
γ
f dz от формы кривой. Последнее равносильно
обращению в нуль этого интеграла по любой замкнутой кривой γ в D.
Действительно, если γ
1
и γ
2
— две кривые в D с одними и теми же кон-
цевыми точками, то γ
1
−γ
2
будет замкнутой кривой и равенство нулю
интеграла
R
γ
1
−γ
2
приводит к равенству
R
γ
1
=
R
γ
2
. Результаты, устана-
вливающие равенство нулю интегралов от аналитических функций
вдоль кривых или систем кривых, носят название теорем Коши.
В этом параграфе мы установим теорему Коши для выпуклой
области. Случай более сложных областей потребует развития допол-
нительных топологических средств. Следующий результат принад-
лежит Гурса и иногда называется основной леммой интегрального
исчисления.
Лемма. Пусть f — аналитическая в области D функция и тре-
угольник ∆ содержится в D вместе со своим замыканием. Тогда
Z
∂∆
f(z) dz = 0.
Доказательство. Введем для интеграла вдоль положительно ори-
ентированной границы треугольника ∆ обозначение:
η(∆) =
Z
∂∆
f(z) dz.
58                            Глава III .      Комплексное интегрирование



       Решение. Пусть
                         n
                         X              k
                                                        n
                                                        X   r2k
                 P (z) =     bk (z − a) ⇒ P (z) =     bk
                         k=0                      k=0    (z − a)k
       и                        Z
                                    P dz = 2πib1 r2 .
                               ∂∆


§ 2.       Теорема Коши в выпуклой области

    В предыдущем параграфе мы установили, что существование
первообразной функции f в области D эквивалентно условию незави-
                    R
симости интеграла γ f dz от формы кривой. Последнее равносильно
обращению в нуль этого интеграла по любой замкнутой кривой γ в D.
Действительно, если γ1 и γ2 — две кривые в D с одними и теми же кон-
цевыми точками, то γ1 −γ2 будет замкнутой кривой и равенство нулю
          R                           R     R
интеграла γ1 −γ2 приводит к равенству γ1 = γ2 . Результаты, устана-
вливающие равенство нулю интегралов от аналитических функций
вдоль кривых или систем кривых, носят название теорем Коши.
    В этом параграфе мы установим теорему Коши для выпуклой
области. Случай более сложных областей потребует развития допол-
нительных топологических средств. Следующий результат принад-
лежит Гурса и иногда называется основной леммой интегрального
исчисления.
Лемма. Пусть f — аналитическая в области D функция и тре-
угольник ∆ содержится в D вместе со своим замыканием. Тогда
                               Z
                                    f (z) dz = 0.
                               ∂∆



Доказательство. Введем для интеграла вдоль положительно ори-
ентированной границы треугольника ∆ обозначение:
                                        Z
                             η(∆) =         f (z) dz.
                                       ∂∆

Страницы