Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§1. Определение и основные свойства интеграла 57
Упражнения
1. Используя представление
x =
1
2
(z + z) =
1
2
z +
r
2
z
на окружности |z| = r, вычислите интеграл
Z
∂∆
x dz,
где ∆ = {z : |z| < r}.
2. Вычислите интеграл
Z
∂∆
|z −1| · |dz|,
где ∆ = {z : |z| < 1}.
3. Допустим, что функция f аналитична на замкнутой кривой γ и
f
0
непрерывна на ней. Докажите, что
Z
γ
f(x)f
0
(z) dz
является чисто мнимым.
Решение. Поскольку
R
ff
0
dz =
R
w dw и (u−iv) d(u+iv) = ( u du+
v dv)−i(v du−u dv), то Re
R
ff
0
dz =
R
u du+v dv =
1
2
R
d(u
2
+v
2
) = 0
(замкнутость кривой).
4. Допустим, что f аналитична в области D и удовлетворяет не-
равенству |f(z) − 1| < 1 при z ∈ D. Предполагая для удобства
непрерывность f
0
, докажите, что
Z
γ
f
0
(z)
f(z)
dz = 0
для любой замкнутой кривой γ в D.
5. Пусть по определению
R
γ
f dz =
R
γ
f dz. Покажите, что если P (z) —
полином и ∆ = {z : |z − a| < r}, то
Z
∂∆
P (z) dz = −2πir
2
P
0
(a).
§ 1.    Определение и основные свойства интеграла                      57

   Упражнения
 1. Используя представление
                                                          
                              1          1   r2 
                           x = (z + z) =   z+
                              2          2    z
       на окружности |z| = r, вычислите интеграл
                                           Z
                                               x dz,
                                          ∂∆

       где ∆ = {z : |z| < r}.
 2. Вычислите интеграл              Z
                                         |z − 1| · |dz|,
                                    ∂∆
       где ∆ = {z : |z| < 1}.
 3. Допустим, что функция f аналитична на замкнутой кривой γ и
    f 0 непрерывна на ней. Докажите, что
                                    Z
                                         f (x)f 0 (z) dz
                                    γ

       является чисто мнимым.
                                R                  R
       Решение. Поскольку f f 0 dz = w dw и (u−iv) d(u+iv) = (u du+
                                R          R              R
       v dv)−i(v du−u dv), то Re f f 0 dz = u du+v dv = 12 d(u2 +v 2 ) = 0
       (замкнутость кривой).
 4. Допустим, что f аналитична в области D и удовлетворяет не-
    равенству |f (z) − 1| < 1 при z ∈ D. Предполагая для удобства
    непрерывность f 0 , докажите, что
                                    Z    f 0 (z)
                                                 dz = 0
                                    γ    f (z)
       для любой замкнутой кривой γ в D.
                                R              R
 5. Пусть по определению f dz = f dz. Покажите, что если P (z) —
                                γ              γ
       полином и ∆ = {z : |z − a| < r}, то
                            Z
                                P (z) dz = −2πir2 P 0 (a).
                           ∂∆

Страницы