Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 53 стр.

§ 1.      Определение и основные свойства интеграла                                                         55

определяется только концевыми точками кривой γ, расположенной
в области D, и не зависит от ее формы в том и только в том
случае, когда f (z) dz — полный дифференциал в области D.

Доказательство. Пусть f (z) dz — полный дифференциал, т. е. су-
ществует такая аналитическая в области D функция F , что F 0 (z) =
f (z) при z ∈ D. Если γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, — кусочно–гладкая
кривая в области D, то
     Z                 Zβ                           Zβ   d
                                      0
         f (z) dz =         f (z(t))z (t) dt =              F (z(t)) dt = F (z(β)) − F (z(α)).
     γ                 α                            α    dt

Случай произвольной спрямляемой кривой легко достигается путем
аппроксимации ее ломаными. Однако мы не будем активно этим
пользоваться и всюду в дальнейшем будем иметь дело в основном
с кусочно–гладкими кривыми.
                             R
    Обратно, пусть интеграл γ f (z) dz не зависит от формы кривой
в области D. Фиксируем произвольную точку z0 ∈ D и определим
функцию                        Z
                        F (z) = f (z) dz,
                                                         γ

где γ — ломаная, соединяющая z0 с текущей точкой z. В силу сде-
ланных предположений функция F корректно определена. Покажем,
что она голоморфна в D и F 0 (z) = f (z). Действительно, пусть z —
произвольная точка области D и ε > 0. В силу открытости D и непре-
рывности f найдется такое δ > 0, что (z +ζ) ∈ D и |f (z +ζ)−f (z)| < ε
при |ζ| < δ. Тогда
                                                                        Z
                                F (z + ζ) − F (z) =                          f (ξ) dξ,
                                                                   [z,z+ζ]

где [z, z + ζ] — отрезок, соединяющий z и z + ζ. Поскольку
                       Z                                            Z
                               f (ξ) dξ = ζ · f (z) +                       [f (ξ) − f (z)] dξ,
                     [z,z+ζ]                                   [z,z+ζ]

то          ¯                                   ¯
                                                                   ¯
                                                                   ¯
                                                                                                    ¯
                                                                                                    ¯
            ¯                                   ¯                  ¯ Z                              ¯
            ¯ F (z   + ζ) − F (z)               ¯             1    ¯                                ¯
            ¯
            ¯                     −       f (z)¯¯   =              ¯
                                                                   ¯          [f (ξ) − f (z)]   dξ ¯¯   ≤
            ¯           ζ                       ¯            |ζ|   ¯
                                                                   ¯[z,z+ζ]
                                                                                                    ¯
                                                                                                    ¯