Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

Глава III
Комплексное интегрирование
§1. Определение и основные свойства интеграла
Пусть γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, — некоторая кривая в C. Под ее
длиной понимается величина
length(γ) = sup
n
X
i=1
|z(t
i
) − z(t
i−1
)|,
где супремум берется по всем разбиениям α = t
0
< t
1
< . . . < t
n
=
β интервала [α , β] (или кривой γ). Если этот супремум конечен, то
кривая γ называется спрямляемой. Для каждого разбиения кривой
γ и функции f, определенной на этой кривой (точнее на множестве
{z = z(t) : t ∈ [α, β]}), рассмотрим два типа интегральных сумм:
n
X
i=1
f(z(τ
i
))(z(t
i
) − z(t
i−1
)),
n
X
i=1
f(z(τ
i
))|z(t
i
) − z(t
i−1
)|,
где τ
i
∈ [t
i−1
, t
i
], i = 1, . . . , n. Из теории криволинейных интегра-
лов первого и второго рода, примененной к вещественной и мнимой
частям этих сумм, следует существование их пределов при условии
спрямляемости γ и непрерывности f, когда max
i
|t
i
− t
i−1
| → 0. Эти
пределы будем соответственно обозначать:
Z
γ
f(z) dz =
Z
γ
(u dx − v dy) + i
Z
γ
(u dy + v dx),
Z
γ
f(z) |dz| =
Z
γ
u ds + i
Z
γ
v ds,
53
Глава III

Комплексное интегрирование

§ 1.   Определение и основные свойства интеграла

    Пусть γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β, — некоторая кривая в C. Под ее
длиной понимается величина
                                              n
                                              X
                        length(γ) = sup             |z(ti ) − z(ti−1 )|,
                                              i=1

где супремум берется по всем разбиениям α = t0 < t1 < . . . < tn =
β интервала [α, β] (или кривой γ). Если этот супремум конечен, то
кривая γ называется спрямляемой. Для каждого разбиения кривой
γ и функции f , определенной на этой кривой (точнее на множестве
{z = z(t) : t ∈ [α, β]}), рассмотрим два типа интегральных сумм:
       n
       X                                             n
                                                     X
             f (z(τi ))(z(ti ) − z(ti−1 )),                f (z(τi ))|z(ti ) − z(ti−1 )|,
       i=1                                           i=1

где τi ∈ [ti−1 , ti ], i = 1, . . . , n. Из теории криволинейных интегра-
лов первого и второго рода, примененной к вещественной и мнимой
частям этих сумм, следует существование их пределов при условии
спрямляемости γ и непрерывности f , когда max i |ti − ti−1 | → 0. Эти
пределы будем соответственно обозначать:
                 Z               Z                           Z
                     f (z) dz = (u dx − v dy) + i (u dy + v dx),
                 γ               γ                           γ

                           Z                  Z               Z
                               f (z) |dz| =       u ds + i        v ds,
                           γ                  γ               γ

                                              53

Страницы