Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 49 стр.

§ 4.   Элементарные конформные отображения                            51

координат соответственно. Всякая другая прямая в z-плоскости пе-
реходит в логарифмическую спираль. Экспонента является однолист-
ной в каждой области, которая не содержит ни одной пары точек,
разность которых кратна 2πi. В частности, горизонтальная полоса
{z : y1 < Im z < y2 } при y2 − y1 < 2π отображается на сектор
{w : y1 < arg w < y2 }, который в случае y2 − y1 = π является по-
луплоскостью.
    В заключение этого параграфа рассмотрим рациональную функ-
цию                         Ã     !
                          1     1     1 + z2
                      w=     z+     =        ,
                          2     z       2z
которая носит имя Жуковского, применившего ее для аэродинами-
ческого расчета крыльев. Она имеет два простых полюса в точках
z = 0 и ∞. Ее производная
                                       Ã      !
                           dw   1    1
                              =   1− 2
                           dz   2   z
отлична от нуля всюду в C \ {0}, кроме точек z = ±1.
     Выясним теперь условия однолистности функции Жуковского в
какой–либо области D ⊂ C. Пусть z1 , z2 — произвольные две точки в
C \ {0}. Тогда
                       Ã           !                  Ã           !
                  1       1                    1
              z1 + − z2 +    = (z1 − z2 ) 1 −
                  z1      z2                  z1 z2
и мы видим, что D является областью однолистности функции Жу-
ковского в том и только в том случае, если она не содержит пары
точек z1 , z2 , для которых z1 · z2 = 1. Простейшими такими облас-
тями являются внутренность и внешность единичного круга. Чтобы
наглядно представить отображение, осуществляемое функцией Жу-
ковского, положим z = r eiθ , w = u + iv. Тогда
                  Ã        !                      Ã       !
                1    1                        1    1
             u=   r+   cos θ,              v=   r−   sin θ.
                2    r                        2    r
Из этих равенств видно, что окружности |z| = r0 , r0 > 1, переходят
в эллипсы с полуосями
                      Ã        !                  Ã           !
                   1      1                   1      1
                a=   r0 +    ,             b=   r0 −
                   2      r0                  2      r0