Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 48 стр.

50           Глава II .   Аналитические функции как отображения

иметь представление о разрешимости этого вопроса в рамках эле-
ментарных функций, нужно хорошо знать их отображающие свой-
ства. Последнее достигается, как правило, выяснением вопроса, как
преобразуются те или иные семейства кривых. Наиболее общий под-
ход состоит в изучении образов координатных прямых x = x0 или
y = y0 . Если записать f (z) = u(x, y) + iv(x, y), то образом прямой
x = x0 будет кривая, которая задается параметрическими уравнени-
ями u = u(x0 , y), v = v(x0 , y), −∞ < y < ∞. Образы прямой y = y0
описываются аналогично. Вместе они образуют ортогональную сетку
в w-плоскости. В некоторых случаях удобно использовать полярные
координаты и изучать образы концентрических окружностей и пря-
молинейных лучей, выходящих из начала координат.
    Основным инструментом в практике конформного отображения
являются дробно–линейные преобразования, степенная функция, экс-
понента и логарифм.
Степенная функция. w = z α , 0 < α < ∞. Ранее мы видели, что в
     −
C \ R выделяется однозначная ветвь функции z α . Поскольку

                   |w| = |z|α ,     arg w = α arg z,

то концентрические окружности с центром в начале координат пе-
реводятся в окружности этого же семейства, а лучи, выходящие из
начала координат, переводятся в такие же лучи. Из равенства
                                            w
                              (z α )0 = α
                                            z
следует, что степенная функция осуществляет отображение, кон-
формное во всех точках z 6= 0, а угол θ в начале координат преоб-
разуется в угол раствора αθ.
    Таким образом, в случае 0 < α ≤ 1 степенная функция од-
                          −
нолистна в области C \ R и конформно отображает ее на сектор
{w : −απ < arg w < απ}. В случае α > 1 степенная функция не яв-
                          −
ляется однолистной в C \ R . Однако она будет однолистной в любом
секторе {w : −π/α < arg w < π/α}.
Экспонента. w = ez переводит прямые x = x0 и y = y0 в окруж-
ности с центром в начале координат и в лучи, выходящие из начала