Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава II . Аналитические функции как отображения
что означает симметричность точек L(z
∗
) и L(z) относительно
окружности, определяемой точками L(z
1
), L(z
2
) и L(z
3
), т. е. C
2
.
2
Подытоживая полученные результаты, мы видим, что любые два
круга в C (т. е. круг или полуплоскость) являются конформно эк-
вивалентными. Требуемое конформное отображение осуществляется
дробно–линейным преобразованием. Для его отыскания можно вос-
пользоваться соответствием трех точек и искать его, разрешая урав-
нение
(w, w
1
, w
2
, w
3
) = (z, z
1
, z
2
, z
3
) ,
где z
1
, z
2
, z
3
— точки на одной окружности, а w
1
, w
2
, w
3
— точки на ее
образе. Однако этот путь приводит к громоздким формулам. Более
изящным является путь, использующий принцип симметрии.
Найдем для примера все дробно–линейные преобразования, кото-
рые отображают верхнюю полуплоскость на единичный круг и ото-
бражения единичного круга на себя. В первом случае допустим, что
A, Im A > 0, — точка, которая переходит в начало координат. В силу
принципа симметрии z = A будет переводить в точку w = ∞. Однако
точками, которые переходят в нуль и бесконечность, дробно–линейное
преобразование определяется однозначно с точностью до постоянного
множителя
w = k
z − A
z − A
. (5)
Поскольку |x − A| = |x − A| при x ∈ R, то условие соответствия
вещественной оси и единичной окружности приводит к равенству
|k| = 1. Таким образом, общий вид требуемого отображения опре-
деляется формулой (5), в которой комплексные числа A и k играют
роль параметров и удовлетворяют условиям Im A > 0 и |k| = 1.
Аналогично устанавливается, что общий вид дробно–линейного
преобразования, отображающего единичный круг на себя, определя-
ется формулой:
w = k
z − a
1 − az
,
где |a| < 1 и |k| = 1.
48             Глава II .       Аналитические функции как отображения

что означает симметричность точек L(z ∗ ) и L(z) относительно
окружности, определяемой точками L(z1 ), L(z2 ) и L(z3 ), т. е. C2 .
                                                         2
    Подытоживая полученные результаты, мы видим, что любые два
круга в C (т. е. круг или полуплоскость) являются конформно эк-
вивалентными. Требуемое конформное отображение осуществляется
дробно–линейным преобразованием. Для его отыскания можно вос-
пользоваться соответствием трех точек и искать его, разрешая урав-
нение
                         (w, w1 , w2 , w3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ) ,

где z1 , z2 , z3 — точки на одной окружности, а w1 , w2 , w3 — точки на ее
образе. Однако этот путь приводит к громоздким формулам. Более
изящным является путь, использующий принцип симметрии.
     Найдем для примера все дробно–линейные преобразования, кото-
рые отображают верхнюю полуплоскость на единичный круг и ото-
бражения единичного круга на себя. В первом случае допустим, что
A, Im A > 0, — точка, которая переходит в начало координат. В силу
принципа симметрии z = A будет переводить в точку w = ∞. Однако
точками, которые переходят в нуль и бесконечность, дробно–линейное
преобразование определяется однозначно с точностью до постоянного
множителя
                                     z−A
                                w=k       .                            (5)
                                     z−A
Поскольку |x − A| = |x − A| при x ∈ R, то условие соответствия
вещественной оси и единичной окружности приводит к равенству
|k| = 1. Таким образом, общий вид требуемого отображения опре-
деляется формулой (5), в которой комплексные числа A и k играют
роль параметров и удовлетворяют условиям Im A > 0 и |k| = 1.
    Аналогично устанавливается, что общий вид дробно–линейного
преобразования, отображающего единичный круг на себя, определя-
ется формулой:
                                z−a
                           w=k         ,
                                1 − az
где |a| < 1 и |k| = 1.

Страницы