Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§3. Дробно–линейные преобразования 47
2) Пусть C — окружность с центром в a и радиуса R. Системати-
ческое использование инвариантности ангармонического отношения
дает:
(z
∗
, z
1
, z
2
, z
3
) = (z, z
1
, z
2
, z
3
) = (z −a, z
1
− a, z
2
− a, z
3
− a)
=
z −a,
R
2
z
1
− a
,
R
2
z
2
− a
,
R
2
z
3
− a
=
=
R
2
z −a
, z
1
− a, z
2
− a, z
3
− a
=
R
2
z −a
+ a, z
1
, z
2
, z
3
,
откуда следует, что
z
∗
= a + R
2
/(z −a) и (z
∗
− a)(z − a) = R
2
.
Таким образом,
arg(z
∗
− a) = arg(z − a) и |z
∗
− a| ·|z −a| = R
2
.
2
Теорема 4. Если дробно–линейное преобразование L переводит
окружность C
1
в окружность C
2
(в расширенном смысле), то оно
преобразует каждую пару точек, симметричных относительно C
1
,
в пару точек, симметричных относительно C
2
.
Доказательство. Пусть z
1
, z
2
, z
3
— три различные точки на окруж-
ности C
1
. Тогда симметричность точек z и z
∗
относительно C
1
выра-
жается равенством
(z
∗
, z
1
, z
2
, z
3
) = (z, z
1
, z
2
, z
3
) .
В силу инвариантности ангармонического отношения имеем
(L(z
∗
), L(z
1
), L(z
2
), L(z
3
)) = (L(z), L(z
1
), L(z
2
), L(z
3
)) ,
§ 3.   Дробно–линейные преобразования                                                 47

    2) Пусть C — окружность с центром в a и радиуса R. Системати-
ческое использование инвариантности ангармонического отношения
дает:

       (z ∗ , z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ) = (z − a, z1 − a, z2 − a, z3 − a)
                                                                         
                                         R2        R2        R2 
                        = z − a,             ,         ,           =
                                     z 1 − a   z 2 − a   z 3 − a 
                                2
                              R
                        =          , z1 − a, z2 − a, z3 − a
                           z −   a                      
                                2
                              R
                        =           + a, z1 , z2 , z3  ,
                            z−a

откуда следует, что

               z ∗ = a + R2 /(z − a)           и       (z ∗ − a)(z − a) = R2 .

Таким образом,

            arg(z ∗ − a) = arg(z − a)              и     |z ∗ − a| · |z − a| = R2 .

                                                                                 2


Теорема 4. Если дробно–линейное преобразование L переводит
окружность C1 в окружность C2 (в расширенном смысле), то оно
преобразует каждую пару точек, симметричных относительно C1 ,
в пару точек, симметричных относительно C2 .

Доказательство. Пусть z1 , z2 , z3 — три различные точки на окруж-
ности C1 . Тогда симметричность точек z и z ∗ относительно C1 выра-
жается равенством

                           (z ∗ , z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ) .

В силу инвариантности ангармонического отношения имеем

           (L(z ∗ ), L(z1 ), L(z2 ), L(z3 )) = (L(z), L(z1 ), L(z2 ), L(z3 )) ,

Страницы